上海市金山中学、闵行中学、崇明中学、嘉定一中四校联考2023-2024学年高二年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若“”，则“”是________命题．（填：真、假）
【答案】真
【解析】
【分析】根据函数的单调性即可得出结论.
【详解】函数在是单调增函数，
∴当，一定有，故是真命题.
故答案为：真．
【点睛】本题考查命题真假的判定，属于基础题.
2. 集合，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以.
故答案为：.
3. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则______.
【答案】10
【解析】
【分析】利用方程的根的定义，将代入方程，整理成，由实部与虚部均为0，列方程组求解即得.
【详解】因是关于的实系数方程的一个复数根，则有，
化简得，，故有，解得.
故答案为：10.
4. 双曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】
【详解】∵由题可知
∴
∴离心率
故答案为：.
5. 若数据，，，的标准差为，则数据的标准差为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的性质计算可得.
【详解】，，，，的标准差为，
，，，，的方差为，
数据的方差为，则标准差为.
故答案为：
6. 某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为______
【答案】
【解析】
【分析】依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式可得
故答案为：
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.
7. 已知函数在处取得最小值，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用均值不等式求最值即可.
【详解】解：由于，，
故函数，
当且仅当，即时，等号成立，
故时函数取得最小值为．
故答案为：
8. 已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合分段函数性质可得该函数为增函数，利用增函数的性质即可得解.
【详解】当时，为增函数，且，
当时，为增函数，且，
则在上为增函数，
则不等式等价为，
即，解得：，
即不等式的解集为.
故答案为：.
9. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.
【详解】取中点为，连接,
由于是等边三角形，所以
因为平面平面，其交线为,平面,
所以平面，是直线与平面所成角．
不妨设，
在等边中，，，所以，
故
故直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：
10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，动点的轨迹满足，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先求得点的轨迹方程，然后求解的最大值即可．
【详解】设，
由题意，可得，
整理可得，
即点在以为圆心，3为半径的圆上，
则圆心与原点的距离为
据此可得，
故答案为：．
11. 如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成几何体的体积为_________
【答案】．
【解析】
【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.
【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，下底面面积，
∴圆台的体积为，
又半球的体积为，
故旋转体的体积为．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为__．
【答案】18
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式可得：．通过分类讨论可知：点是如图所示的正方形的4条边．即可得到最大值．
【详解】解：动点到两直线和的距离之和为，
，
化为．
分为以下4种情况：或或或．
可知点是如图所示的正方形的4条边．
可知：当取点时，取得最大值．
最大值为18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 在等差数列中，，．记（为正整数），则数列（ ）
A. 有最大项，也有最小项B. 最大项，但无最小项
C. 无最大项，但有最小项D. 无最大项，也无最小项
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求出等差数列的通项公式,分析可知数列是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值,进一步分析得答案.
【详解】设等差数列的公差为d,由，,得，解得：d=2.
所以.
令,得,而n∈N*,可知数列是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.
可知T1=-90,T3=-3150为最大项,自T5起均小于0,且逐渐减小
∴数列有最大项,无最小项.
故选:B
14. 在中，，则一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理结合题意得，由勾股定理逆定理即可得解.
【详解】，
，
即，
一定是直角三角形.
故选：C.
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题.
15. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.
【详解】取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】对①：计算出所有整点即可得；对②：借助基本不等式即可得；对③：借助割补法计算即可得.
【详解】根据题意，曲线，
当时，曲线的方程为，
当时，曲线的方程为，
则曲线关于轴对称，
对于①，曲线，
当时，，所以，即曲线经过，；
当时，方程为，有，
解得，所以只能取整数1，
当时，有，解得或，即曲线经过，，
根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，①正确；
对于②，当时，曲线的方程为，
则有，变形可得，当且仅当时等号成立，
又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足，
即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，②正确；
对于②因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，，
，围成的矩形面积，
在轴下方，图形面积大于三点，，
围成的等腰直角三角形的面积，
故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误
故选：A．
【点睛】关键点点睛：判断结论③的关键在于结合所得整点坐标，借助割补法得到在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，，，围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点，，围成的等腰直角三角形的面积.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求点到侧面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
由点在底面上的投影为的中点，知平面，
又平面，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
平面，平面，
平面，.
【小问2详解】
，中点，侧面是菱形，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，，
由（1）知直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得
点到平面的距离为：.
18. 已知函数．
（1）求函数在R上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
19. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：
（1）直方图中的a的值；
（2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数．
（3）为了更好了解消费者和激励消费，网络公司决定在这10000名消费者中用分层随机抽样法抽取100名进一步做调查问卷和奖励.再从这100名中消费在内的个体内抽取一等奖两名，求中奖的2人中消费在，内各一人的概率.
【答案】（1）3.0；
（2）6000； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1，列式计算作答.
（2）求出消费金额在区间内的频率即可求解作答.
（3）求出抽取的100名消费者中，消费在内的个体数，及消费在，内的个体数，再利用组合求概率作答.
【小问1详解】
由频率分布直方图得：，解得，
所以直方图中的a的值为3.0.
【小问2详解】
由频率分布直方图得，消费金额在区间内的频率是，
所以消费金额在区间内的购物者的人数约为：.
【小问3详解】
用分层随机抽样法抽取的100名消费者中，消费在内的个体数为，
其中消费在，内的个体数分别为，，
因此从10人中任取2人的试验有个基本事件，消费在，内各一人的事件有个基本事件，
所以中奖的2人中消费在，内各一人的概率.
20. 已知分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由椭圆长轴长为6，可知，再代入点，即可求出椭圆方程；
（2）直线与椭圆相交问题，要讨论直线斜率是否存在，若存在则可设直线方程为与椭圆联立方程组，可由韦达定理得根与系数关系，再由点在以线段为直径的圆的外部等价于，从而转化为根与系数的关系上来，即可求解；
（3）由直线、分别交轴于点，此时点的坐标可以运用直线和的两点式方程求解并表示出来，从而利用向量的坐标运算把向量关系：，，转化为坐标关系：，，再利用韦达定理来求出与系数的关系，从而利用斜率的范围来求的范围.
【小问1详解】
因为，所以；
又点在椭圆上，即，所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）可得
①当直线的斜率不存在时，此时直线就是轴，所以为椭圆的短轴端点，
即以线段为直径的圆交轴于，
此时点在以线段为直径的圆的外部，符合题意，
但此时，直线的斜率不存在.
②当直线的斜率存在时，设直线，设、，
由得，
由，解得或（i），
，
又∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
由
，
解得或 （ii），
由（i）、（ii）得实数的范围是或.
【小问3详解】
设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：，
令，解得，所以点S；同理点T为，
所以，，，
由，，可得：，，
所以，
由、在直线上可代入得：
，
由（2）知：，，代入上式得，
，
即
综上可得：的范围是
21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
（1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
（2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间；
（3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可；
（2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可；
（3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【小问1详解】
若是函数的驻点，则，可得，即得．
【小问2详解】
函数定义域为，
，
当时，令，可得或，
①当，即时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为．
②当，即时，
令，得或，
令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
③当，即时，令，得或；令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问3详解】
由，可得，即，其中，
令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得，
当时，，当时，，
∴函数在上严格递增，在上严格递减，
∴函数在端点或处取得最小值．
∵，∴，
∴，∴，
因此，实数的取值范围是
【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论：
（1）存在；
（2）存在.