初中数学苏科版八年级下册9.1 图形的旋转当堂检测题

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一、单选题
1．（2020·江苏无锡·八年级期中）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=4，BD=3，CD=5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（ ）
A．12B．C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
此题连接DE，先利用旋转和等边三角形的性质证明△ADE是等边三角形，根据题意，由△ADE是等边三角形依据勾股定理判定△CDE是直角三角形即可求四边形的面积．
【详解详析】
如图：
连接DE，过点A作AN 垂直DE于点E，
根据题意由旋转知AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∵等边△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=4，
又BD=3，CD=5，
∴ ，
∴△CDE是直角三角形，
∵AD=4，∠ADE=60°，
∴∠DAN=30°，
∴DN=2，
由勾股定理得AN= ，
∵=，
，
，
∴，
即四边形ADCE的面积是，
故答案为：C．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
2．（2020·江苏玄武·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．2
【标准答案】C
【思路指引】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，再通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解详析】
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM=MP+CP=HE+EC=2+2=4，
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
3．（2020·江苏·启东市惠萍初级中学八年级月考）如图，△ABC和△EFC都是等边三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若点E在直线AD上运动，连接DF，则在点E运动的过程中，线段DF的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
【标准答案】A
【思路指引】
由 △ABC 和 △EFC都是等边三角形，联想基本图形，想到证全等，但是这样的三角形不存在，于是想到连接 BF，构造 △BFC ≌ △AEC．显然当DF⊥BF时最小，即可求出DF最小值．
【详解详析】
解：∵△ABC为等边三角形，AD是△ABC的高，
∴BD=BC=AB=2，∠EAC=∠BAC=30°．
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴EC=CF，BC=AC，∠FCE=∠DCA．
∴∠FCE-∠DCE=∠DCA-∠DCE，即∠BCF=∠ACE．
在△BFC和△AEC中
EC=CF
∠BCF=∠ACE
BC=AC，
∴△BFC≌△AEC．
∴∠FBC=∠EAC=30°．
由垂线段的性质可知：当DF⊥BF时，DF有最小值．
在Rt△BDF中，∠FBD=30°，BD=2，
∴DF=BD=×2=1．
∴DF的最小值为1．
故选：A．
【名师指路】
在此题中，E点为主动点，F点为从动点，从动点随主动点的运动而运动，且他们的运动轨迹是一致的，找到了F点的运动轨迹，题目就好解决了．
4．（2021·江苏江阴·八年级期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
【标准答案】A
【思路指引】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解详析】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝2，
∴CQ的最小值为2，
故选：A．
【名师指路】
本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
二、填空题
5．（2021·江苏姑苏·七年级期中）无锡市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°．B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是______秒．
【标准答案】或
【思路指引】
设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18秒，推出t≤18-2，即t≤16秒，利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【详解详析】
设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ要180÷10=18秒，t≤18-2，即t≤16，由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平①如图1，
，30t=10(2+t)；解得t=1，
②如图2，
，30t-180+10(2+t)=180，解得t=；
综上所述，满足条件的t值为1秒或者秒．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质，A光束速度较快，光束走完180°再返回才有可能和B光束平行，需要分情况讨论．
6．（2021·江苏工业园区·九年级月考）如图，RtΔABC中∠C＝90°，∠ABC＝30°，ΔABC绕点C顺时针旋转得ΔA1B1C，当A1落在AB上时，连接B1B，取B1B的中点D，连接A1D，则的值为_______．
【标准答案】
【思路指引】
根据旋转的性质得到△ACA1和△BCB1是等边三角形，再根据等边三角形的内角度数及直角三角形的内角度数推出△A1BD为直角三角形，设AC=x，根据勾股定理得出A1B=x，BB1=x，因为点D是BB1的中点，得出BD =x，根据勾股定理得出A1D==，从而可得出的值．
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°
∴∠A=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∵△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C
∴CA=CA1，CB=CB1
∴△ACA1是等边三角形
∴∠ACA1=60°
∴∠A1CB=∠ACB-∠ACA1=90°-60°=30°
∵∠A1CB1=90°
∴∠BCB1=∠A1CB1-∠A1CB=90°-30°=60°
∵CB=CB1
∴△BCB1是等边三角形
∴∠B1BC=60°
∴∠A1BB1=∠ABC+∠B1BC=30°+60°=90°
设AC=x，
则在Rt△ABC中，A1C=AA1=AC=x，AB=2x，BC=x
∴A1B=x，BB1=x
∵点D是BB1的中点
∴BD=BB1=x
在Rt△A1BD中，
A1D==
∴
故答案为．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键是证明△ACA1和△BCB1是等边三角形．
7．（2021·江苏锡山·一模）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
【标准答案】
【思路指引】
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【详解详析】
解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′-S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′=
故答案为：3π．
【名师指路】
本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
8．（2020·江苏·张家港市梁丰初级中学七年级月考）如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．

（1）当时，则旋转角的大小为________；
（2）当在OC与OB之间时，求的值；
（3）在旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数．
【标准答案】（1）20°；（2）；（3）6°或70°
【思路指引】
（1）根据旋转的性质，求出旋转角的度数，即可得到答案；
（2）由旋转的性质可知，，由（1）知，根据角的和差关系，即可得到∠AOD∠COE的值；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①OD在OA与OC之间时；②OD在OC与OB之间时；设∠COE为x，根据角的和差关系列出等式，分别求出答案即可．
【详解详析】
解：（1）由图1可知，∠AOD=，
如图2，当∠AOD=80°时，有：
∠COE=80°60°=20°，
故答案为：20°.
（2）如图：由（1）知，，
由旋转的性质，可知，
∴；
（3）根据题意，设∠COE为x，则
①如图，当OD在OA与OC之间时，
∴∠AOE=90°+x，∠COD=30°，
∵∠AOE=4∠COD，
∴，
解得：；
②如图，当OD在OC与OB之间时，
∴∠AOE=90°+x，∠COD=，
∵∠AOE=4∠COD，
∴，
解得：；
∴旋转角∠COE的大小为：6°或70°．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，以及角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键，注意利用分类讨论的思想进行解题，题目比较好，难度不大．
9．（2020·江苏盐都·三模）【问题情境】
如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为线段AB、AC上的点，且DE∥BC．将△ADE绕点A旋转一定的角度后得到△AD′E′,如图②．
（1）求证：△ABD′≌△ACE′．
【深入研究】
如图③，,,．
（2）若点D′在线段BE′上，求△BCE′的面积．
（3）若点B、D′、E′不在同一直线上，且点在内，顺次连结C、B、D′、E′四点，则四边形CBD′E′的面积是否改变，若改变，请求出改变后的面积；若不变，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图④，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝∠C≠90°．请用没有刻度的直尺和圆规画出满足下列条件的四边形A′B′CD．
条件1：利用一次旋转变换改变线段AB的位置，得到对应线段A′B′．
条件2：连结A′D、B′C，使得四边形A′B′CD的面积与四边形ABCD的面积相等．
【标准答案】（1）见解析；（2）6；（3）不变，理由见解析；（4）见解析
【思路指引】
①根据旋转后角和线段不变可证明出△ABD′≌△ACE′．
②根据全等三角形对应边，对应角相等可得出是直角三角形，根据勾股定理求出x或关于x的一个等式，从而可以求出的面积．
③根据全等和面积的加减法可求出四边形CBD′E′的面积不变
④借助第三问的结论构造出两个三角形，即可画出图形．
【详解详析】
（1）由题意得：
∴
2）同理（1）可得
∴
∵,,
∴
∴
∴
，设
+=
化简得：
∴
（3）不变
理由如下：
∵,,
∴△ABC的面积为8，△的面积为2
∵
∴
∴=
∴的大小不变
（4）如图，

如图所示的四边形A′B′CD就是所画的四边形
【名师指路】
本题主要考察了全等三角形判定和性质，直角三角形性质和判定，旋转，作图等知识点，通过旋转找出全等三角形是解题关键．
10．（2021·江苏·九年级月考）（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）【解决问题】
①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝ ．
（3）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
【标准答案】（1）65；（2）①；②2；（3）PA+PB+PC的最小值为．
【思路指引】
（1）【操作发现】：如图1中，根据旋转的性质可得AD＝AB，由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案；
（2）【解决问题】
①如图2中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题；
②如图3中，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，根据旋转的性质可以得到∠P′CP＝∠ACB＝90°，进而得到等腰直角三角形，求出PP'即可得出答案；
（3）【拓展应用】
如图4中，将△APB绕BC顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．得出∠CBE＝135°，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，求出CF和EF的长，可求出CE长，则答案可求出．
【详解详析】
（1）【操作发现】
解：如图1中，
∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝50°，
∴＝65°，
故答案为：65．
（2）【解决问题】
①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．
②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，
∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，
∴△P′CP为等腰直角三角形，
∴∠CP'P＝45°，
∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，
∴∠AP′P＝90°，
∵PA＝3，PB＝1，
∴AP′＝1，
∴PP′＝＝＝2，
∴PC＝＝＝2．
故答案为：2．
（3）【拓展应用】
解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．
∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，
∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，△BPD为等边三角形，AP=DE
∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，PB=PD
∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，根据两点之间线段最短可得PA+PB+PC=DE＋PD＋PC≤CE，即PA+PB+PC的最小值为CE的长
∴∠CBE＝135°，
过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，
∴∠EBF＝45°，
∴，
在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，
∴＝
即PA+PB+PC的最小值为．
【名师指路】
此题考查的是旋转的性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握作辅助线的方法、旋转的性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
11．（2021·江苏工业园区·七年级月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）

（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．
（2）若，∠BAD＝x° ．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）见解析；（2）①，②存在，或．
【思路指引】
（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；
（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
【详解详析】
（1）∵AE⊥BC
∴∠EAC+∠C=90°
∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°
∴∠B=∠EAC
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED
∴∠B=∠E
∴∠EAC=∠E
∴DE∥AC
（2）①∵∠B+∠C=90°，
∴∠B=40°，∠C=50°
∵DE⊥BC
∴∠EDF=90°
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED
∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=°
∴∠DFE=50°
∵∠DFE=
∴
∴
②由题意可得，∠ADC=， ∠ABD= ，
∠EDF=
∠DFE=
（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得，解得
（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得解得
（ⅲ）若∠DFE =∠E，可得解得（舍去）
综上可得或．
【名师指路】
本题考查了三角形折叠中的角度问题，熟知折叠的性质，平行的判定定理是解题的关键．
12．（2021·江苏丹徒·八年级月考）定义：如图，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点关于直线的“等角点”．
如图①，在中，分别是上的点，，然后将绕点顺时针旋转一定角度，连接，得到图②，延长交的延长线于点，延长至点，使，连接，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，与的数量关系是 ；
（2）在图③中，求证：点为点，关于直线的“等角点”．
【标准答案】（1）相等；（2）见解析
【思路指引】
（1）根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
（2）先根据“等角点”的定义得出其判定方法，再证明△ABM≌△CAN，从而推出∠MAN=∠BAC即可证明结论．
【详解详析】
解：（1）由旋转的性质知∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
（2）由“等角点”的定义可知：如图，
点A和点A′关于直线l对称，
∴∠APC=∠A′PC，
∵∠A′PC=∠BPD，
∴∠APC=∠BPD，
可得若满足∠APC=∠BPD，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”，
如图③，由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵DM=EN，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠BAM=∠CAN，即∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴∠MAN=∠BAC，
∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
【名师指路】
本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定与性质，以及新概念“等角点”等知识，正确理解新概念“等角点”，证明三角形全等是解题的关键．
13．（2020·江苏高邮·一模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【标准答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．
【思路指引】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解详析】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AD，
∴AD＝2BC＝12，
∴△ABD的面积＝AD•BC＝12×6＝36，
故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
∴∠H＝∠C＝90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠PQH＝∠BPC，
∴△PQH≌△BPC（AAS），
∴PH＝BC，QH＝CP，
∵AC＝BC，
∴PH＝AC，
∴CP＝AH，
∴QH＝AH，
∴∠HAQ＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，
∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAC＝30°，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，
∵点C和点D关于AF对称，
∴AD＝AC＝6，
∵∠AND＝90°，
∴DN＝AD＝6＝3，
∴CM+NM最小值为3．
【名师指路】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2020·江苏·灌南县树人实验学校八年级月考）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：___；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．
【标准答案】（1）见详解；（2）DE=ADBE；证明见详解；（3）DE=BEAD，证明见详解．
【思路指引】
（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解详析】
（1）证明：如下图：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CECD=ADBE；
（3）DE=BEAD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
15．（2021·江苏·苏州外国语学校七年级期中）如图1，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，，平分，将绕点D按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中；
（1）如图2，当________时，；
（2）如图2，当_________时，与的一边平行；
（3）如图3，当顶点C在内部时（不包含边界），边、分别交，的延长线于点M，N．
①问：与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由；
②若使得，求的度数范围．
【标准答案】（1）8°；（2）8°或60°或98°；（3）①不变，60°；②53°＜α≤68°
【思路指引】
（1）当∠EDA=∠B=38°时，DE∥BC，得出30°+α=38°，即可得出结果；
（2）分EF∥AC，EF∥AB，，EF∥BC，三种情况，画出图形，利用平行线的性质和外角的性质分别求解；
（3）①连接MN，由三角形内角和定理得出则∠CNM+∠CMN=90°，由三角形内角和定理得出∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，整理即可得出结论；
②由∠AND≥∠BMD，∠BMD+∠AND=60°，得出∠AND≥60°-∠AND，解得∠AND≥30°，由三角形内角和定理得出∠AND+∠NDM+α+∠A=180°，即∠AND+30°+α+52°=180°，则∠AND=98°-α，得出98°-α≥30°，解得α≤68°，结合点C在BC、AC边上时α的度数，即可得出结果．
【详解详析】
解：（1）∵∠B=38°，
∴当∠EDA=∠B=38°时，DE∥BC，
而∠EDF=30°，
∴30°+∠α=38°，
解得：∠α=8°；
（2）在△ABC中，∠B=38°，∠ACB=90°，
∴∠A=52°，
在△DEF中，∠EDF=30°，∠E=90°，
∴∠F=60°，
若EF∥AC，
∴∠F=∠CGD=60°，
∴∠α=∠CGD-∠A=8°；
若EF∥AB，
则∠α=∠F=60°；
若EF∥BC，
则∠E=∠CGD=90°，
∴∠BDE=∠CGD-∠B=52°，
∴∠α=180°-∠BDE-∠EDF=98°；
综上：当∠α为8°或60°或98°时，EF与△ABC的一边平行；
（3）①∠1与∠2度数的和不变；
理由如下：
连接MN，如图所示：
在△CMN中，
∵∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，
∴∠CNM+∠CMN=90°，
在△MND中，
∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，
即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，
∴∠BMD+∠AND=180°-90°-30°=60°；
②∵∠AND≥∠BMD，∠BMD+∠AND=60°，
∴∠AND≥60°-∠AND，
∴∠AND≥30°，
∵∠AND+∠NDM+α+∠A=180°，
即∠AND+30°+α+52°=180°，
∴∠AND=98°-α，
∴98°-α≥30°，
解得：α≤68°，
∵∠ABC=38°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，∠A=52°，
∴∠CDA=83°，
当点C在DE边上时，α+30°=83°，
解得：α=53°，
当点C在DF边上时，α=83°，
∴当顶点C在△DEF内部时，53°＜α＜83°，
∴∠α的度数范围为53°＜α≤68°．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质、不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．