初中数学12.1 二次根式当堂检测题

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一、单选题
1．已知实数满足，则的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．21或18B．21C．18D．以上均不对．
【标准答案】A
【思路指引】
根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解详析】
解：根据题意得
解得
若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、8，能组成三角形，周长为；
若5是底边长，则三角形的三边长为：5、8、8，能组成三角形，周长；
即等腰三角形的周长是21或18．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断，根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
2．我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）．
A．B．C．2D．3
【标准答案】A
【思路指引】
根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解详析】
∵△ABC的三边分别是3，和，即，，
∴△ABC的面积S＝
故选：A．
【名师指路】
本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解．
3．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据已知条件的公式计算即可；
【详解详析】
根据题意可知：a＝，b＝，c＝，
∴S＝，
＝，
，
，
，
∴，
∴；
故答案选B．
【名师指路】
本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．
4．中外数学家曾经针对已知三角形的三边，求其面积问题进行过深入研究，古希腊几何学家海伦给出“海伦公式”：，其中；我国南宋数学家秦九韶给出“秦九韶公式”，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．
【详解详析】
解：∵S=
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，
则面积是：S=，
故选B.
【名师指路】
此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.
5．已知，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据，求的值，即可求得的值
【详解详析】
解：
=12
所以，．
故选B．
【名师指路】
本题考查完全平方公式和二次根式的的运用，解题的关键是与的关系．
6．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【标准答案】D
【思路指引】
先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解详析】
解：，
所以是型无理数，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
7．秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．
【详解详析】
解：一个三角形的三边分别为，
∴它的面积是：
，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【名师指路】
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
8．若实数，满足等式，则的值是
A．B．C．9D．3
【标准答案】C
【思路指引】
直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解详析】
解：，
，
，，
解得：，，
则．
故选：．
【名师指路】
本题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．
9．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=（cm），HG=（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．
【详解详析】
解：如图．
由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．
∴BC=（cm），HG=（cm）．
∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，
∴BC=BM=MD=4cm，HM=HG=MF=3cm．
∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF
=BM•HM+MD•MF
=4×3+4×3
=48（cm2）．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
10．等腰三角形的两边满足，则它的周长是（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
由非负数的性质先求得a，b，再根据三角形三边之间的关系确定出那个是腰，进而求得周长的值．
【详解详析】
解：∵ ，
∴a-7=0，2b-6=0，即a=7,b=3,
∵2b=6＜7，
∴底边的长为3，腰的长为7，
∴周长=7×2+3=17，
故此等腰三角形的周长为17．
故选：C.
【名师指路】
本题考查非负数的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质及非负数的性质、三角形三边之间的关系求解，以及利用分类讨论的思想．
二、填空题
11．已知，则________．
【标准答案】20
【思路指引】
运用二次根式化简的法则先化简，再得出的值即可．
【详解详析】
解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：20．
【名师指路】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．
12．若一直角三角形两直角边的长分别为，，则这个直角三角形斜边上的中线为__．
【标准答案】．
【思路指引】
根据勾股定理可以求得斜边长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可解答
【详解详析】
解：∵一直角三角形两直角边的长分别为，，
∴斜边长为：，
∴这个直角三角形斜边上的中线为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查二次根式的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．
13．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．
【标准答案】
【思路指引】
先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可．
【详解详析】
解：∵解方程组得：，则x＞y
∴x◆y＝4◆（﹣1）＝＝，
∵