期中仿真模拟卷-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年八年级下册数学专题训练（苏科版）

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1．为了解某初中1200名学生的视力情况，随机抽查了200名学生的视力进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．200名学生的视力是总体的一个样本B．200名学生是总体
C．200名学生是总体的一个个体D．样本容量是1200名
【答案】A
【分析】
根据总体，样本，个体，样本容量的定义，即可得出结论．
【详解】
解：A．200名学生的视力是总体的一个样本，故本选项正确；
B．学生不是被考查对象，200名学生不是总体，总体是1200名学生的视力，故本选项错误；
C．学生不是被考查对象，200名学生不是总体的一个个体，个体是每名学生的视力，故本选项错误；
D．样本容量是1200，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了对总体，样本，个体，样本容量的理解和运用，关键是能根据定义说出一个事件的总体，样本，个体，样本容量．
2．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将向右平移4个单位长度B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度D．将向上平移4个单位长度
【答案】D
【分析】
先画出图象，求出直线与坐标轴交点A、B坐标，根据中心对称的性质得到对应点D、C坐标，利用待定系数法求出直线解析式，直线平移的规律即可求解．
【详解】
解：如图，把y=0代入得到，把x=0代入得到y=-2，
∴直线与x轴、y轴的交点分别为A、B（0,-2），
∵直线与关于坐标原点中心对称，
∴点A关于原点对称的点D的坐标为，点B关于原点对称的点C的坐标为（0,2）
设的解析式为，
则，
解得
∴的解析式为
∴直线可以看做直线向上平移4个单位得到．
故选：D
【点睛】
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、待定系数法、一次函数的平移、中心对称的性质等知识，熟知一次函数的知识和中心对称的性质是解题关键．
3．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（ ）
A．3：5B．：2C．1：2D．（+1）：1
【答案】D
【分析】
由BE平分，得，根据正方形的性质得，，故，根据AAS得，故，设，进而可用含的式子表示出线段和的长，要求的比值即求和的比值，代入即可求解．
【详解】
∵BE平分，，
∴是等腰三角形，
∴，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．2021年2月18日是我国二十四节气中的“雨水”节气，这一天会下雨
B．某班级11名学生中，至少有两名同学的生日在同一个月份
C．通常加热到100°C时，水沸腾
D．任意购买一张电影票，座位号是3的倍数
【答案】C
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A、是随机事件，故A不符合题意；
B、是随机事件，故B不符合题意；
C、是必然事件，故C符合题意；
D、是随机事件，故D不符合题意；；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若BF＝2，则EF的长是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】
先说明AB=2BC，再根据勾股定理求出BC和AB，进而得到BD=BC=AD=2，说明F和E分别是AC、CD的中点，最后根据三角形的中位线定理即可解答．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点
∴DC=AB=AD
∵∠ACD＝30°
∴∠A=∠ACD＝30°
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∴BC=AD,即△DBC为等边三角形
∵BF⊥CD于点F，
∴CF=FD,∠DBF=30°
∴BD=2DF
设DF=x，则BD=2x，DF2+BF2=BD2,即x2+() 2=(2x)2,解得x=2或-2（舍去）
∴AD=BD=2x=4
∵DE∥BC交AC于点E，D是AB的中点
∴AE=EC
∵CF=FD
∴EF是三角形ACD的中位线
∴EF=AD=2．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定、含30角的直角三角形的性质、三角形的中位线等知识点，能综合运用所学知识进行推理和计算成为解答本题的关键．
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，则BM的长度是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【分析】
由ASA证明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：设BM=x，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得：x=，
∴BM=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
7．如图，在平行四边形中，于点，把以点为中心顺时针旋转一定角度后，得到，已知点在上，连接．若，，则的大小为（ ）
A．140°B．155°C．145°D．135°
【答案】C
【分析】
根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．
【详解】
解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，
∴∠ADF=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，
∴∠BFD=125°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=20°，
由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，
∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
8．小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【答案】D
【分析】
分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【详解】
解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，
∴α=90°-30°-45°=15°，
若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，
∴α=120°-30°-45°=45°，
若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，
∴α=90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴AC∥DE，
∴α=180°-45°=135°，
综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．
故选：D
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
9．某校组织学生参加安全知识竞赛，并抽取部分学生成绩绘制成如图所示的统计图（每组不包括最小值，包括最大值），图中从左至右前四组的百分比分别是，第五组的频数是8．下列判断正确的有（ ）
①第五组的百分比为16%；
②参加统计调查的竞赛学生共有100人；
③成绩在70-80分的人数最多；
④80分以上（不含80分）的学生有14名．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据频数分布直方图的知识及频数与频率的关系可以得到解答．
【详解】
解：由1-4%-12%-40%-28%=16%可知①正确；
由可知参加统计调查的竞赛学生共有50人，∴②错误；
由频数分布直方图可以得知成绩在70-80分的人数最多，∴③正确；
由可知80分以上（不含80分）的学生有22名，④错误；
故选B．
【点睛】
本题考查频数与频率的应用，熟练掌握频数与频率的关系及频数分布直方图的知识是解题关键 ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交FD于点H，则①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．上述4个结论中说法正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据平行四边形ABCD的性质和BD=2AD，可以确定等腰三角形OAD，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形CDE的性质确定，根据三角形OAB的中位线的性质确定，再结合平行四边形ABCD的性质可判断②正确；根据三角形OAB的中位线和平行四边形ABCD的性质可以确定EF=DG，且，进而得到平行四边形EFGD，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形ABCD的性质确定和，进而得到，可判断④不正确．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO．
∵BD=2AD，
∴DO=AD．
∵E为OA中点，
∴．
故①正确．
②∵，G是CD中点，
∴．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∴EF=EG．
故②正确．
如下图所示，连结FG和BE．
③如上图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴EF=DG．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴．
故③正确．
④如上图所示：∵F是OB中点，
∴．
∵E是OA中点，
∴．
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴O是AC中点，．
∴．
∵E是AO中点，O是AC中点，
∴．
∴．
故④不正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键．
二、填空题
11．如图，直方图从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：1，第二组的频数为9，作品总件数为____件．
【答案】48
【分析】
由各长方形的高的比得到各段的频率之比，即可得到第二组的频率，再由数据总和＝某段的频数÷该段的频率，即可计算作品总数．
【详解】
∵从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：1，
∴频率之比为2：3：4：6：1；
∴第二组的频率，
∵第二组的频数为9，
∴作品有948（件）．
故答案为：48.
【点睛】
本题考查了频数分布直方图，熟练掌握频数分布直方图的意义是解题的关键．
12．某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，91，96，100，102，108，109，则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是_________．
【答案】
【分析】
利用唱票法确定81.5～95.5这一组的票数，根据频率=票数÷样本容量计算即可．
【详解】
∵81.5～95.5这一组有82，83，86，87，88，89，91，共七票，
∴跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是．
【点睛】
本题考查了频数与频率，熟练运用唱票法确定这一组的票数，熟记频率=票数÷样本容量是解题的关键．
13．在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到_______________________色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”)
【答案】白
【分析】
分别计算出摸到红、白、黑球的可能性，比较大小后即可得到答案．
【详解】
∵袋子中装有个红球、个白球和个黑球，
∴摸出红球的可能性是：2÷（2+5+3）=，
摸出白球的可能性是：5÷（2+5+3）=，
摸出黑球的可能性是：3÷（2+5+3）=，
∵＞＞，
∴白球出现的可能性大．
故答案为：白
【点睛】
本题主要考查了求简单事件发生的可能性，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
14．若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．
【答案】8
【分析】
根据一次函数解析式可得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，由旋转的性质可得，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：≅，，，即可确定点Q的坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．
【详解】
解：函数得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，连接OQ，如图所示：
将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ，
∴，，
∴
∴，
在与中，
，
∴≅，
∴，，
点Q的坐标为，
∴
当或时，取得最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】
题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．
15．已知，点A(a，1)和点B(3，b)关于点(5，0)成中心对称，则a+b的值为___．
【答案】6
【分析】
利用中心对称的性质，构建方程组解决问题即可．
【详解】
解：∵点A(a，1)和点B(3，b)关于点(5，0)成中心对称，
∴，
解得，，
∴a+b＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质及中点的坐标公式，根据中心对称的性质和中点坐标公式列出方程组是解决此题的关键．
16．如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
由平行四边形的性质可得：，，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，当时，此时OP有最小值，即可求解．
【详解】
如图，设AB与PD交于点O，连接OC，
∵四边形ADBP是平行四边形
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
当点P与点C重合时，此时OP有最大值
∴DP的最大值为
当时，此时OP有最小值
∵
∴
∴DP的最小值为
∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合）
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键．
17．如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．
【答案】2.5
【分析】
过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】
解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
18．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别处，的中点，连接，则的长度为______．
【答案】
【分析】
连接AH并延长交CD于点M，连接PM，根据ASA证明△AEH≌△MDH，得出H是AM的中点，AE＝DM＝2，根据勾股定理求出PM＝2，最后根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：连接AH并延长交CD于点M，连接PM，过点C作CN⊥PM，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴∠C＝120°，AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，
∵点E，P分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CP＝×4=2，
∵AB∥CD，
∴∠AEH＝∠MDH，
∵H是DE的中点，
∴EH＝DH，
在△AEH和△MDH中，
∵ ，
∴△AEH≌△MDH（ASA），
∴AE＝DM＝2，AH＝MH，
∴CM＝CD−DM＝2，
∵在△CMP中，∠C=120°，CP=CM=2，CN⊥PM，
∴∠CMP=∠CPM=30°，
∴CN=CM=1，
∴PN=MN=，
∴PM＝×2=2，
∵点G，H分别是AP，AM的中点，
∴GH＝PM＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质并由此证明△AEH≌△MDH是解题的关键．
三、解答题
19．某中学积极开展跳绳锻炼，一次体育测试后，体育委员统计了全班同学单位时间的跳绳次数，列出了频数分布表和频数分布直方图，如图：
（1）补全频数分布直方图并求出频数分布表中a的值．
（2）表中组距是 次，组数是 组．
（3）跳绳次数在100≤x＜160范围的学生有 人，全班共有 人．
（4）若规定跳绳次数不低于140次为优秀，求全班同学跳绳的优秀率是多少？
【答案】（1）补全频数分布直方图见解析，a=2；（2）20，7；（3）39，50；（4）26%
【分析】
（1）根据频数分布直方图中的数据，可以得到a的值，然后根据频数分布表中的数据，可知140≤x＜160这一组的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（2）根据频数分布表中的数据，可以得到组距和组数；
（3）把第3组和第4组，第5组的频数相加可得到跳绳次数在100≤x＜160范围的学生数，把全部7组的频数相加可得到全班人数；
（4）用后三组的频数和除以全班人数可得到全班同学跳绳的优秀率．
【详解】
解：（1）由直方图中的数据可知，a=2，
由频数分布表可知，140≤x＜160这一组的频数为8，
补全的频数分布直方图如图所示，
；
（2）根据频数分布表得：表中组距是20次，组数是7组．
故答案为：20，7；
（3）跳绳次数在100≤x＜160范围的学生有18+13+8=39（人），全班人数为2+4+18+13+8+4+1=50（人）；
故答案为：39，50；
（4）跳绳次数不低于140次的人数为8+4+1=13，
所以全班同学跳绳的优秀率=×100%=26%．
【点睛】
本题考查了频（数）率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10．
【分析】
（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；
（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；
（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．
【详解】
解：（1）观察表格得：当n很大时，
摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球有：个，
故答案为：；
（3）原来白球的数量为：50-30=20，
摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，
∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，
若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，
∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，
则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，
故答案为：10；10．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
（1）当n为何值时，男生小强参加是确定事件？
（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分必然事件和不可能事件两种情况进行讨论即可.
（2）男生小强参加是随机事件,则男生至少一名参加，但又不能所有男生都参加.X
【详解】
（1）若小强一定参加，则必须将所有男生都参加，选4名同学参加，而男生共有3名，
∴女生只能参加1名，即n=1，
∴当n=1时，男生小强参加是必然事件；
若小强不可能参加，则一个男生都不能参加，
∴当n=4时，男生小强参加是不可能事件；
（2）∵男生至少一名参加，但又不能所有男生都参加，小强就有可能参加，也有可能不参加，
∵4名同学参加，而女生总共有5名，男生总共有3名，
∴男生最多参加2名，最少参加1名，
∴当n=2或3时，男生小强参加是随机事件.
【点睛】
考查确定事件以及随机事件，掌握它们的概念是解题的关键.
22．已知为等腰直角三角形，，，
(1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由．
(2)如图2，将绕若点B旋转60°得，若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】
（1）延长DC交AB于点E，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，由等边三角形“三线合一”即可证明；
（2）延长交于点M，连接，由勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，，故可得是等边三角形，故，根据SSS证明，由全等三角形的性质得，根据等边三角形“三线合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．
(1)
，理由如下：
如图，延长DC交AB于点E，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
(2)
延长交于点M，连接，
在中，，
∵绕若点B旋转得，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）M（2，1）
【分析】
（1）①利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
②利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）对应点连线的交点M即为所求．
【详解】
解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求；
②如图，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，点M即为所求，M（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
24．如图，在中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若，，求四边形BEFD的周长．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）根据三角形中位线定理即可证明；
（2）证明四边形BEFD为菱形，即可求出四边形BEFD的周长．
【详解】
解：（1）∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DF是的中位线，
∴且，
∵F是AC的中点，
∴，
∴，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）∵，F是AC的中点，
∴，,
在和中，
∴，
∴，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴，
∴平行四边形BEFD是菱形，
∴四边形BEFD的周长．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识点，熟知其性质定理是解题的关键．
25．动点P在□ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度/s，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图像如图2所示．
（1）若a＝3，求当t＝8时△BPQ的面积；
（2）如图3，点M，N分别在函数第一和第三段图像上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2，设t1、t2时点P走过的路程分别为，若＝ 16，求t1、t2的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）当时，点在点，可知；当点运动到点时，，结合图2，可知的值；当点运动到点时，的值与点在点时的值相等，可求得与的值；时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，则可得时的值；在中，由勾股定理求得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（2）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组，解方程组即可．
【详解】
解：（1）如图：
由题意知：当时，点在点，此时最长为，即；
当点运动到点时，，
；
当点运动到点时，的值最长，与点在点时的值相等，即，
，
当时，点在边上，即，
，
则时对应的点在和之间的函数图象上，
设此时函数为，把，分别代入得：
，
解得：，
当时，，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）由题意可得，．
，
①，
线段平行于横轴，
，即此时的值相同，
，即②，
联立①②得：，
解得：，
，．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，准确理解题意、数形结合、分段讨论是解题的关键．
26．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．
(1)若P为BC上一点．
①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时CE＝ ；
②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．
【答案】(1)见解析，①，②，见解析；
(2)或
【分析】
（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可；
②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC；
（2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC=90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．
(1)
解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，
∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°，
∴DE===8，
∴CE=DC-DE=10-8=2；
故答案为：2；
②BC＝2BP，理由如下：
∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，
∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，
∵CE∥AP，
∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，
∴∠PEC＝∠ECP，
∴EP＝CP，
∴BP＝BC，
∴BC＝2BP；
(2)
（2）∵△PEC是直角三角形，
当∠EPC＝90°时，
∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，
∴四边形ABPE是正方形，
∴PB＝AB＝10；
当∠ECP＝90°时，
由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，
∴EC＝18，
设BP＝x，则PC＝x﹣6，
在Rt△ECP中，由勾股定理得：
182+（x﹣6）2＝x2，
解得x＝30，
∴PB＝30；
当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，
不符合题意，舍去，
综上：BP＝10或30．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题．
次数
频数
60≤x＜80
a
80≤x＜100
4
100≤x＜120
18
120≤x＜140
13
140≤x＜160
8
160≤x＜180
4
180≤x＜200
1
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602