专题07 反比例函数中的正方形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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A．－9B．－20C．－21D．－22
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【详解】解：∵一次函数中，当x=0时，y=0+4=4，
∴A（0，4），
∴OA=4；
∵当y=0时，0=，
∴x=-3，
∴B（-3，0），
∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=-7×3=-21．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
2．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．﹣3D．3
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
3．如图，正方形ABCD的边长为，点，点在轴上且在点的右侧，点，均在第一象限，为的中点，反比例函数的图像经过点，则（ ）
A．点在上B．点在上方
C．点在下方D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【分析】根据的坐标以及正方形的边长得到，然后利用待定系数法求得，进而求得反比例函数的图像与的交点即可得到结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为，点，为的中点，
∴，，，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴点在上方．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正方形的性质．反比例函数图像上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
4．如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数在第一象限的图像经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（ ）
A．12B．6C．10D．8
【答案】A
【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a﹣b），F（a+b，a），根据反比例函数图像上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以 ＝a﹣b，则a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝12．
【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a），
所以E（a+b，），
所以＝a﹣b，
∴（a+b）（a﹣b）＝k，
∴a2﹣b2＝k，
∵两正方形的面积差为12，
∴k＝12．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
5．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上．已知点B的坐标是，则k的值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】C
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝BE，DF＝AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，DF＝AE，
∵正方形的边长为2，B（，），
∴BE，AE，
∴OF＝OE+AE+AF5，
∴点D的坐标为（，5），
∵顶点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝xy5＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△DAF是解本题的关键．
6．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ）
A．36B．18C．12D．9
【答案】B
【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
∴点D的坐标为（3，），
∴点C的坐标为（3-t，+t）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，
∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，
∴点B的坐标为（3，6-），
∴3×（6-）=，整理，得：+=18．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系．
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与边长是4的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由正方形OABC的边长是4，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为4，求得M（4，），N（，4），根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解析式．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是4，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为4，
∴M（4，），N（，4），
∴BN＝4﹣，BM＝4﹣，
∵△OMN的面积为6，
∴4×4﹣×4×﹣×4×﹣×（4﹣）2＝6，
∴k＝8，（负根舍去）
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解答是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=的图象上，B点在反比例函数y=的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设B（a，），由A点和中点坐标公式可得a的值，从而得出B点坐标；过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，由△DAN≌△ABM可得DN、AN的长度，便可求得D点坐标，再代入反比例函数y=求m即可；
【详解】解：B点在反比例函数y=的图象上，设B（a，），
∵AB的中点E在y轴上，A的坐标为（-1，0），
∴（-1+a）=0，解得：a=1，即B（1，2），
如图，过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
ABCD是正方形，则AD=BA，∠BAD=90°，
∵∠DAN+∠ADN=90°，∠DAN+∠BAM=90°，
∴∠ADN=∠BAM，又∵∠AND=∠BMA=90°，AD=BA，
∴△DAN≌△ABM（AAS），∴DN=AM=2，NA=MB=2，
∵A（-1，0），∴D（-3，2），代入比例函数y=得：m=-6，
故选： C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识；由全等的性质求得D点坐标是解题关键．
9．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，点A的坐标为，，求出OB，得到点B坐标，证明和全等，得点C坐标，代入，求出k，得解析式；
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵反比例函数的图象过点C，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
10．如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在 边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．
【答案】Q（3，）
【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知OA×OB=OC×OD=16，再根据四边形OAPB是正方形，即可求出OA和OB的长度，最后结合矩形BDQE的面积，求出点Q的横坐标即可解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为：，
∴OA×OB=OC×OD=16，
∵四边形OAPB是正方形，
∴OA=OB=4，
∵四边形BDQE的面积为4，
∴四边形BOCE面积为16-4=12，
∴OC=3，即点Q的横坐标为3，
当x=3时，，
∴Q（3，）
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，正方形的性质以及矩形的性质，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．
11．如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．
【答案】-9
【分析】设B(m，3)，把E点的坐标用含m的代数式表示出来．把B、E两点的坐标都代入y=中，先求出m的值，则可求出k的值．
【详解】设B(m，3)，则C((m-3，3)，
∵E点是CD的中点，
∴(m-3， ).
∵B、E都在y=的图像上，
∴，
解得m=-3，
∴B(-3，3)，
∴k=-3×3=-9，
故答案为-9．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论：
①；
②；
③四边形与面积相等；
④若，，则点的坐标为．
其中正确结论的有____．
【答案】①③④
【分析】设正方形的边长为，表示出，，，，的坐标，利用得到三角形与三角形全等，结论①正确；利用勾股定理表示出与，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形与三角形全等，根据三角形面积三角形面积四边形面积三角形面积，等量代换得到四边形与面积相等，结论③正确；过作垂直于，如图所示，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的值，确定出坐标，即可对于结论④做出判断．
【详解】解：设正方形的边长为，
得到，，，，，，
在和中，
，
，结论①正确；
根据勾股定理，，，
和不一定相等，结论②错误；
，
，结论③正确；
过点作于点，如图所示，
，
，，
，，
，，
，
，
，即，
由得，，
整理得：，
解得：（舍去负值），
点的坐标为，结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
13．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)48
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
（1）
解：由题意，点A(1，4)在反比例函数y=的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）
解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，
∴，即B(2，2)，
∴小正方形的边长为4，
∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，4)，则大正方形的边长为8，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为64-16=48．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合、反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标和利用待定系数法求出反比例函数解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．
【答案】(1)B(-1，-3)
(2)存在，或或
(3)
【分析】（1）过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，证明得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先求出AB的值，再根据题意可得分类讨论，分为当AB=AP时有两种情况和当AB=BP时有一种情况进行求解即可；
（3）先设向上平移了m表示和的坐标，再根据B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上得和点的横、纵坐标的积相等，列出关于m的方程即可求解．
（1）
过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，如下图，
则，
∵点A(0，-6)，D(-3，-7)，
∴DF=3，AF=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DF=AE=3，AF=BE=1，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴B(-1，-3)．
（2）
存在3种情况，
由（1）得且在中
AB=AD=，
一：当AB=AP时的等腰三角形，如图，
则AP=，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6+)；
二：当AB=AP时，如下图，
则AP=，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6-)；
三：当AB=BP时，如下图，
则BP=，且过B作BEAP于点E，
∵，
∴，
∴P点在原点上，
则P为(0，0)．
综上所述点P的坐标为或或．
（3）
设向上平移了m可得
为(-1，-3+m)，为(-3，-7+m)，
反比例函数关系式为，
∴，
解得m=9，
∴k=，
∴反比例函数解析式为：．
【点睛】此题是反比例函数与正方形结合的综合体，主要考查了反比例函数的性质、待定系数法、全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，解决本题的关键是证明全等三角形和分类讨论．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．
(1)点的坐标_________；
(2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)．
【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；
（2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．
（1）
解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵点，，
∴，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
（2）
设反比例函数为，
由题意得：点坐标为，点坐标为，
∵点和在该比例函数图象上，
∴，
解得：，，
∴反比例函数解析式为．
（3）
假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴，
解得：，
∴P（，0），Q（，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴，
解得：，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴，
解得：．
∴P（-7，0）、Q（-3，-2）.
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，
符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
16．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
（1）
解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）
如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）
当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
17．如图，直线AD：与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数与直线AD交于E、F两点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)根据图像，求出不等式的解集；
(3)在x上是否存在一点Q使△CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)Q点的坐标为：，，，，．
【分析】（1）首先证明，再根据直线AD求出点A、D的坐标，利用全等三角形的对应边相等，写出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可得出反比例函数的表达式；
（2）利用图像可以看出当时，一次函数图象在A点之后，E点之前符合条件，所以将一次函数与反比例函数的表达式联立，求出点E的坐标，点A的坐标（1）中已求出，根据两点的横坐标，即可得到不等式的解集；
（3）△DAO≌△ABM得到点B的坐标，然后设出Q点的坐标，分别讨论当CB=CQ，BC=BQ，QC=QB时，得出Q点的坐标．
（1）
证明：四边形是正方形，
，，
，
轴，
，
，
，
在和中，
，
；
对于直线，
令，则，
，
，
令，则，
，
，
，，
，将点代入反比例函数中，得，
反比例函数的解析式为①．
（2）
解：直线的解析式为②，
联立①②得，，
解得，或，
，；
由图象可得不等式的解集为．
（3）
证明：如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵BM⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴，
∵，，
∴，
∵在△DAO和△ABM中

∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OABM1，ODAM3，
∴OMAM－OA2，
∴B（2，－1），
设Q（a，0）
CB＝，CQ＝，BQ＝
①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，
∴，
∴，
解得：，
此时，
②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，
∴，
∴，
解得：，，
此时，，
③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，
∴，
∴
解得：，
此时，
∴Q点的坐标为：，，，，．
【点睛】此题是反比例函数的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，待定系数法，解方程组等知识点，正确理解题意是解题的关键．
18．【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF．因为AB＝AD，所以把绕A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合．因为，所以，所以F、D、G共线．如果______（填一个条件），可得．经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足______时，．
【探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设，．当时，______，______；当时，______，______．
【应用】如图3，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
①求△COD的面积；
②当△AOB面积最大时，请直接写出的值．
【答案】【发现】（答案不唯一）；；【探究】，；，；【应用】①△COD的面积为16；②．
【分析】发现：由旋转的性质可得，又，故只需添加条件使之满足或即可；以为条件，利用旋转的性质证明，利用全等三角形的性质进行推导，可证．
探究：①证明，从而得，借助三角形内角和定理可得，再证，由此可得，借助勾股定理求解；②证明，由此可得，．
应用：①作于，于，于，利用角平分线的性质证明，进而可得的坐标，设，，利用平行线间的成比例线段表示出、，然后计算的面积，参数、可通过约分消除，得到最终答案；②由可推出，同理，，由可得，由此可求得的最大值，此时的面积最大，结合①中结论可求得此时的值，即为所求．
【详解】解：发现：添加条件，证明如下：
由旋转的性质可得，．
在与中，
．
当时，，证明如下：
由旋转的性质可知，，，
，
即．
，
，即．
在与中，
，
．
当时，．
探究：①当时，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
．
，，
，即．
又，
，
即，
，
，
，
，
，即；
②当时，
，，
是等腰直角三角形，且．
，
又，
．
在与中，
，
．
，，
即，．
应用：①作于，于，于．
平分，平分，
，，
，
又，
四边形是正方形．
在与中，
，，
，同理，，
，．
设点，则，解得，
．
设，，则，，
．
在中，，即，
整理得，
，
，即，
，同理可得，
．
②，，即，
同理，，即．
，且，
，
，
，
，
，
．
的面积的最大值为，此时．
由①得，
，
整理得，
当△AOB面积最大时，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，反比例函数的应用，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题的关键．