11.2与三角形有关的角(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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11.2 与三角形有关的角一、单选题1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若∠A=40°，∠C=35°，则∠BED=（　　） A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠A=40°， ∴∠D=40°，∵∠BED是△CDE的外角，∴∠BED=∠C+∠D=35°+40°=75°，故选：B．【分析】先根据平行线的性质，得出∠D=40°，再根据∠BED是△CDE的外角，即可得出∠BED的度数．2．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝2:3:4，则∠B等于（　　） A．45° B．60° C．75° D．80°【答案】B【解析】【解答】设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：2x°+3x°+4x°=180°，解得：x=20∴∠B=60°，故答案为：B.【分析】设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，再利用三角形内角和等于180°列出方程，解方程求得x的值，即可求得∠B的度数．3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形板的角度的特征结合图形的特征即可求得结果。由图可得∠=30°+45°=75°，故选D.【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直角三角形板的角度的特征，即可完成。4．在 ΔABC 中，若 ∠B,∠C 都是锐角，则 ΔABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都有可能【答案】D【解析】【解答】解：∵0°＜∠A＜90°，0°＜∠B＜90°，∴如果∠A＝10°，∠B＝20°，那么∠C＝180°﹣10°﹣20°＝150°，是钝角；如果∠A＝30°，∠B＝60°，那么∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，是直角；如果∠A＝60°，∠B＝70°，那么∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，是锐角；即∠C可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，所以△ABC是直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．故答案为：D．【分析】根据三角形的内角和及 都是锐角，判断三角形即可作答。5．将一副三角板按如图的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为(　　)A．80° B．60° C．105° D．75°【答案】D【解析】【解答】如图所示，∵AB∥CD，∠D=45°，∴∠AEF=∠D=45°．∵∠EAF+∠AEF+∠AFE= 180°，∠EAF= 30°，∴∠AFE= 180°- 30°-45°= 105°，∴∠1=180°-∠AFE=75．故答案为：D．【分析】利用两直线平行，同位角相等可求出∠AEF的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠AFE的度数，然后利用邻补角的定义可得到∠1=180°-∠AFE，即可求出∠1的度数.6．如图，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A【解析】【解答】解：∵AF∥BC，∠FAC=75°，∴∠ACE=105°．∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=75°，∴∠A=30°，∴∠D= 12 ∠A=15°．故答案为：A．【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ACE=105°，根据平行线的性质及等边对等角得出∠ACB=∠ABC=75°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，再根据三角形一内角的平分线与另一外角的平分线相交形成的角等于第三个内角的一半得出结论。7．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（　　） A．30° B．45° C．90° D．60°【答案】D【解析】【解答】∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，三角形内角和为180°，∴x+y+x-y+x=180，∴3x=180，x=60，故答案为：D．【分析】根据三角形内角和为180°，将三个内角相加即可求得x的值，即可解题．二、填空题8．在 △ABC 中， ∠A=60∘ ， ∠C=2∠B ，则 ∠C=　 　度 .【答案】80【解析】【解答】解： ∵∠A=60∘ ， ∴∠B+∠C=120∘ ，∵∠C=2∠B ，∴∠C=80∘ .故答案为：80.【分析】根据三角形的内角和定理即可求解.9．如图，△ABC中，∠A=50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　【答案】260°【解析】【解答】解:在△ABC中, ∠A=50°，∵∠A+∠3+∠4=180°,∴∠3+∠4=130°,同理, ∠1+∠2=130°∴∠1+∠2+∠3+∠4=260°故答案是:260°【分析】根据三角形内角和是180°即可解答.10．如图， l ∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是　 　． 【答案】65°【解析】【解答】解：∵l∥m，∠1=120°，∴∠ABC =180°－∠1=60°，∴∠ACB=180°－60°－55°=65°．故答案为65°．【分析】由两直线平行内错角相等可得：∵l∥m，∴∠CBD=∠1=120°，由三角形外角定理：三角形的外角等于它不相邻两内角和可得∠CBD= ∠A + ∠ACB ，即 ∠ACB =∠CBD-∠A=120°-55°即可。11．如图，在 ΔABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 BC 上，且 DE // AC ， ∠A=80o ， ∠BED=55o ，则∠ABC=　 　. 【答案】45°【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A=80°，∵∠BED=55°，∴∠ABC=180-80-55=45°.故答案为：45°.【分析】根据两条平行线所分的同位角相等以及三角形的内角和为180°，可解出∠ABC的度数。12．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得A2；⋯；∠A2019BC与∠A2019CD的平分线相交于点A2020，得∠A2020，则∠A2020=　 　．【答案】α22020【解析】【解答】根据题意， ∠A=α， ∠ABC与 ∠ACD的平分线交于点 A1∴∠A1=180°−12∠ABC−∠ACB−12∠ACD∵∠ACD=∠A+∠ABC∴∠A1=180°−∠ABC−∠ACB−12∠A∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A1=12∠A同理，得 ∠A2=12∠A1=12×12∠A=α22；∠A3=12∠A2=12×12×12∠A=α23；∠A4=12∠A3=12×12×12×12∠A=α24；…∠An=12∠An−1=α2n∴∠A2020=α22020故答案为： α22020．【分析】根据角平分线的定义，三角形外角的性质及三角形的内角和定理可得 ∠A1=12∠A， ∠A2=12∠A1=12×12∠A=α22，……，依次类推可得 ∠An=12∠An−1=α2n，最后将n=2020代入计算即可。三、解答题13．如图，△ABC与△DBE中，AC∥DE，点B、C、E在同一直线上，AC，BD相交于点F，若∠BDE=85°，∠BAC=55°，∠ABD：∠DBE=3：4，求∠DBE的度数．【答案】解：∵AC∥DE，∠BDE=85°，∴∠BFC=85°；∵∠ABD+∠BAC=∠BFC，∴∠ABD=85°﹣55°=30°，∵∠ABD：∠DBE=3：4，∴∠DBE=40°【解析】【分析】由平行线的性质知∠BFC=85°，根据三角形外角的定义得出∠ABD=85°﹣55°=30°，再根据∠ABD：∠DBE=3：4，即可得出结论。14．如图， B 村在 A 村的正东方， C 村在 A 村的北偏东 25° 方向，且在 B 村的西北方， CD⊥AB ,垂足为点 D ， E 村在 AB 上，连接 CE ，恰好平分 ∠ACB ，那么 E 村在 C 村的什么方向？ 【答案】解：根据题意，可得： ∠CAB=65° ， ∠ABC=45° ， 因为在 ΔCAB 中， ∠CAB+∠ABC+∠ACB=180° ，所以 65°+45°+∠ACB=180° ，所以 ∠ACB=70° ， (或利用 CD 与正北方向平行，可得： ∠ACB=25°+45°=70° )因为 CE 平分 ∠ACB ，所以 ∠ACE=12∠ACB=35° ， 因为 CD⊥AB ，所以 ∠ADC=90° ，因为在 ΔCAD 中， ∠CAB+∠ADC+∠ACD=180° ，所以 65°+90°+∠ACD=180° ，所以 ∠ACD=25° ，所以 ∠DCE=∠ACE−∠ACD=35°−25°=10° ， 所以 E 村在 C 村的南偏东 10°【解析】【分析】在△CAB中，根据三角形内角和定理，可得∠ACB=70°，由角平分线的定义，可得∠ACE=12∠ACB=35°，在△CAD中，根据三角形内角和定理，可得∠ACD=25°，利用角的和差关系求出∠DCE的度数即可.四、综合题15．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．【答案】（1）解：∠AED=∠ABC．证明：∵EF垂直平分AB，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBA，∴∠DEA=∠ABC；（2）解：∵△ADE是等腰三角形，∴∠EAD=∠DEA，∵∠DEA=∠ABC，设∠DBC=x°，∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，∴∠ABC=2x°；∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴2x°+3x°=90°，解得：x=18°，∴∠CAB=3x°=54°．【解析】【分析】①由AB边的垂直平分线EF交BD于点E,根据线段垂直平分线的性质,可得EA=EB,即可证得∠EAB=∠EBA,则可得∠AED=2∠EAB又由BD平分∠ABC交AC于点D,则可得∠ABC=2∠EBA,则可证得结论；②设∠DBC=ⅹ°由△ADE是等腰三角形,可求得∠EAD=∠AED=∠ABC=2ⅹ°,∠BAE=∠ABE=∠CBD=ⅹ°,则可得方程2ⅹ°+3ⅹ°=90°,继而求得结果.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．题型1：三角形的内角和定理1.△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）A．80° B．40° C．60° D．50°【答案】B【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C=180°-60°-80°=40°，故答案为：B．【分析】根据三角形内角和定理即可得出答案。【变式1-1】已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（　　）A．30° B．70° C．140° D．125°【答案】B【解析】【解答】解：（180-40）÷2=140÷2=70º故答案为：B.【分析】直接根据等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和定理求解即可得到底角的度数.【变式1-2】如图，将△ABC的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若∠A=65°，∠ACD=25°，则∠B=（　　）.A．45° B．60° C．35° D．40°【答案】A【解析】【解答】解：由折叠得∠B=∠BCD，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=65°，∠ACD=25°，∴65°+2∠B+25°=180°，∴∠B=45°，故答案为：A.【分析】由折叠的性质得∠B=∠BCD，然后根据三角形内角和定理可求解.三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.注意：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．（3）因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°题型2：三角形的外角性质和外角和2.如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（　　）A．60° B．30° C．90° D．80°【答案】A【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠EBA=60°，∴∠CFE=∠EBA=60°，∵∠EBA是△DEF的外角，∴∠E+∠D=∠EBA=60°．故答案为：A．【分析】根据平行线的性质可得∠CFE=∠EBA=60°，再利用外角的性质可得∠E+∠D=∠EBA=60°。【变式2-1】如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（　　） A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【答案】B【解析】【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A，又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A.故答案为：B.【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答.【变式2-2】如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．【答案】解：延长BD交AC于H， ∠BDC=∠DHC+∠C，∠DHC=∠A+∠B∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°．【解析】【分析】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和等于180°，进行作答即可。题型3：三角形的内角和定理的应用-方程3.在△ABC中， ∠A−∠B=∠B−∠C=15° ，求∠A、∠B、∠C的度数. 【答案】解：设 ∠C=x,∠A−∠B=∠B−∠C=15°,∠B=∠C+15°=x+15°,∠A=∠B+15°=x+30°,∠A+∠B+∠C=180°.x+30°+x+15°+x=180∘.解得： x=45°.∠A=75∘.∠B=60°,∠C=45°.【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°计算即可。【变式3-1】在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠B－40°，求△ABC的各个内角的度数.【答案】解：∵∠A=∠B+10°，∠C=∠B－40°， ∠A+∠B+∠C=180°∴∠B+10°+∠B+∠B－40°=180°，∴∠B=70°，∴∠A=70°＋10°=80°，∠C=70°－40°=30°，∴△ABC中，∠A=80°，∠B=70°，∠C=30°【解析】【分析】根据三角形内角和定理结合已知条件可得∠B的度数，进而求出∠A、∠C的度数.【变式3-2】求出下列图形中的x的值：【答案】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°, ∵∠B=40°, ∠C=70°,∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°,∴x=40;在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,∵∠A=80°, ∴80°+x°+x° =180°，∴x=50.【解析】【分析】由三角形内角和等于180°即可解得图形中的x的值.题型4：三角形的内角和定理的应用-三角板4.小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝ （　　）A．20° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知，CD∥EF，∠B=30°， ∵∠AEF=50°，∴∠DAE=∠AEF=50°，∴∠BDA=∠DAE−∠B=50°−30°=20°，故答案为：A. 【分析】根据二直线平行，内错角相等求出∠DAF的度数，然后根据三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和求∠BDA即可.【变式4-1】如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，若∠ADF＝95°，则∠BMD为（　　）A．80° B．85° C．90° D．100°【答案】A【解析】【解答】解：∵∠ADF＝95°，∠FDE＝30°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE＝180°﹣95°﹣30°＝55°，∵∠B＝45°，∴∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣45°﹣55°＝80°，故答案为：A.【分析】由平角的定义求出∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE=55°，再利用三角形的内角和求出∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠BDE=80°.【变式4-2】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为　 　．【答案】75°【解析】【解答】解：∵∠a是△ABC的外角，∠B=30°，∠ACB=45°，∴∠a=30°+45°=75°．故答案为：75°．【分析】利用三角形外角的性质可得∠a=30°+45°=75°。题型5：三角形的内角和定理的应用-高、角平分线5.如图，AF，AD分别是 △ABC 的高和角平分线，且 ∠B=34° ， ∠C=76° ，求 ∠DAF 的度数. 【答案】解：∵AF是 △ABC 的高， ∴∠AFC=90° ，∴∠FAC=90°−∠C=90°−76°=14° ，∵∠BAC+∠B+∠C=180° ，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−76°−34°=70° ，∵AD是 △ABC 的角平分线，∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35° ，∴∠DAF=∠DAC−∠FAC=21° .【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=12∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.【变式5-1】如图，在 △ABC 中， ∠B=32° ， ∠C=54° ， AD⊥BC 于D，AE平分 ∠BAC 交BC于E， DF⊥AE 于F，求 ∠ADF ． 【答案】∵∠B=32°，∠C=54°， ∴∠BAC=180°-32°-54°=94°，∵AE平分 ∠BAC ，∴∠BAE= 12 ∠BAC=47°，∵AD⊥BC ，∴∠BAD=90°-∠B=58°，∴∠DAF=∠BAD-∠BAE=11°，∵DF⊥AE ，∴∠ADF=90°-∠DAF=79°．【解析】【分析】首先由内角和定理可得∠BAC=94°，结合角平分线的概念可得∠BAE=47°，由余角的概念求出∠BAD的度数，根据∠DAF=∠BAD-∠BAE求出∠DAF的度数，然后根据∠ADF=90°-∠DAF进行计算.【变式5-2】（8字模型）如图，已知AB，CD是两条相交线段，连结AD，CB，分别作∠DAB和∠BCD的平分线相交于点P，若∠D=50°，∠B=40°，则∠P的度数为(　　)A．50° B．45° C．40° D．30°【答案】B【解析】【解答】解：设∠DAB=2x，∠DCB=2y，AP与CD相较于点M， ∵AP平分∠DAB，CP平分∠DCB，∴∠DAP=∠PAB=12∠DAB=x，∠DCP=∠PCB=12∠DCB=y， 设AP与CD交于点M，∵∠D+∠DAP+∠AMD=180°，∠P+∠DCP+∠CMP=180°，∵∠AMD=∠CMP，∴∠D+∠DAP=∠P+∠DCP，同理∠B+∠PCB=∠P+∠PAB，∵∠D=50°，∠B=40°，∴50°+x=∠P+y，40°+y=∠P+x，相加得：50°+x+40°+y=∠P+x+∠P+y，解得：∠P=45°.故答案为：B. 【分析】设∠DAB=2x，∠DCB=2y，根据角平分线的概念可得∠DAP=∠PAB=x，∠DCP=∠PCB=y，根据内角和定理可得∠D+∠DAP=∠P+∠DCP，同理可得∠B+∠PCB=∠P+∠PAB，则50°+x=∠P+y，40°+y=∠P+x，两式相加即可得到结果.题型6：三角形的内角和定理的应用-平行线6.已知：如图，AB∥CD，点E在AC上.求证：∠A=∠CED+∠D.【答案】证明：在 △CDE中， ∵∠C+∠CED+∠D=180°（三角形内角和定理），∴∠CED+∠D=180°−∠C（等式的性质），又∵AB//CD（已知），∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=180°−∠C（等式的性质），∴∠A=∠CED+∠D（等量代换）.【解析】【分析】在三角形CED中，根据三角形内角和定理可将∠CED+∠D用含∠C的代数式表示出来，然后由两直线平行同旁内角互补可得∠A+∠C=180°，于是∠A也可用含∠C的代数式表示出来，根据表示的代数式即可判断求解.【变式6-1】已知：如图在△ABC中，BD是角平分线，DE//BC，∠A=60°，∠C=80°，求∠BDE的度数.【答案】解：在△ABC中， ∵∠A=60°，∠C=80°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C-=40°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠EBD= 12 ∠ABC=20°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=20°.【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠EBD的度数，继而根据二直线平行，内错角相等可求出∠EDB的度数.【变式6-2】如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度数.【答案】解：∵∠ADE=155°，∠ADE+∠CDE=180°， ∴∠CDE=25°.∵DE∥BC，∴∠C=∠CDE=25°.在△ABC中，∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°﹣25°=65°.【解析】【分析】根据邻补角的定义可得∠CDE的度数，由DE∥BC，可得∠C=∠CDE，.根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数.题型7：三角形的内角和定理的应用-多角和7.如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】B【解析】【解答】如图，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.故答案为：B.【分析】利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和进行转化即可。【变式7-1】如图所示，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数. 【答案】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F， 又∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【解析】【分析】 根据三角形外角的性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F， 由于三角形外角和等于360°可得 ∠1+∠2+∠3=360°，据此即可求解.【变式7-2】如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= （　　）度. A．180 B．270 C．360 D．540【答案】C【解析】【解答】解：如图，根据题意得： ∠9=∠4+∠6，∠10=∠1+∠5 ，∵∠2+∠3+∠9+∠10=360° ，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360° .故答案为：C. 【分析】对图形进行角标注，根据三角形外角的性质可得∠9=∠4+∠6，∠10=∠1+∠5，根据四边形内角和为360°可得∠2+∠3+∠9+∠10=360°，据此计算.题型8：三角形的内角和定理的应用-数量关系8.（双外角模型）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）求∠E的度数．（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E，∵∠A=40°，∴∠E=20°（2）解：∠A=2∠E，理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E【解析】【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形外角的性质。（1）角平分线将该角分成两个相等的角；（2）三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和。【变式8-1】定义：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题：（1）在图1中，∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系为　 　.（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.①仔细观察，在图2中有 个以线段AD为边的“8字形”；②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数（请说明理由）；③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系，不需说明理由.【答案】（1）∠A+∠D＝∠B+∠C（2）3；解：②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，∴∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝ 12 （∠D+∠B），∵∠D＝40°，∠B＝36°∴∠P＝ 12 （40°+36°）＝38°③∠P＝ 12 （∠B+∠D）【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠B+∠BOC=180°，∵∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C.故答案为：∠A+∠D＝∠B+∠C.（2）①CD和AP相交于点M；CD和AB相交于点O；CD和AN相交于点O∴在图2中有3个以线段AD为边的“8字形”；③ ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，∴∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝ 12 （∠D+∠B），【分析】（1）利用三角形内角和为180°及对顶角相等，可证得∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系。（2）①利用相交线及8字形”可得到以线段AD为边的“8字形”的个数；②利用角平分线的定义可证得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用“8字形”可得到∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，由此可推出∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，然后可求出∠P的度数； ③利用同样的方法可证得∠P与∠D、∠B之间的数量关系。题型9：三角形的内角和定理的应用-新定义9.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值 k(k>1) 称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形 ABC 中， ∠A=36°, 则它的优美比 k 为（　　） A．32 B．2 C．52 D．3【答案】B【解析】【解答】由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故答案为：B．【分析】根据等腰三角形的“优美比”的定义，可得到∠B=∠C=k∠A=（36k）°，再利用三角形的内角和定理，建立关于k的方程，解方程求出k的值.【变式9-1】定义：当三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角” 如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角” α 的度数为　 　． 【答案】48∘ 或 96∘ 或 88∘【解析】【解答】解：当“特征角”为 48∘ 时，即 α=48∘ ； 当 β=48∘ ，则“特征角” α=2×48∘=96∘ ；当第三个角为 48∘ 时， α+12α+48∘=180∘ ，即得 α=88∘ ，综上所述，这个“特征角” α 的度数为 48∘ 或 96∘ 或 88∘ ．故答案是： 48∘ 或 96∘ 或 88∘ ．【分析】可能出现三种情况，这个角是特征角，是特征角的一半的另一个角和另一个普通角。根据三角形的内角和是180度来计算【变式9-2】三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为　 　．【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．①若∠A＝3∠C，则∠C＝20°，∠B＝100°．②若∠C＝3∠A，则∠A＝180°（不合题意）．③若∠B＝3∠C，则∠B＝90°，∠C＝30°，综上所述，另外两个角的度数为100°，20°或90°，30°．故答案为：100°，20°或90°，30°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.注意：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.题型10：直角三角形的性质10.若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】【解答】解: ∵ 三角形三个内角度数之比为2：3：7, ∴ 三角形最大的内角为: 180°×72+3+7=105° .∴ 这个三角形一定为钝角三角形.故答案为：:C.【分析】根据三角形内角和180°来计算出最大的内角度数,然后来判断三角形的形状.【变式10-1】一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中 ∠A=45° ， ∠D=30° ，若 DF//BC ，则 ∠AGE 等于　 　度.【答案】75【解析】【解答】解：∵△ABC 和 △DFE 均是直角三角形，其中 ∠A=45° ， ∠D=30° ， ∴∠B=45° ， ∠DFE=90∘−30∘=60∘ ，∵DF//BC ， ∠D=30° ，∴∠FEC=∠DFE=60∘ ，∴∠GEB=90∘−∠DFE=90∘−60∘=30∘ ，∴∠AGE=∠GEB+∠B=30∘+45∘=75∘ ，故答案为：75.【分析】易得∠B=45°，∠DFE=60°，根据平行线的性质可得∠FEC=∠DFE=60°，则∠GEB=30°，根据外角的性质可得∠GEB+∠B=∠AGE，据此计算.【变式10-2】两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BC∥EF，求∠BMD的度数．【答案】解：如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°−∠C＝60°，∠F＝90°−∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°−∠B−∠MDB＝75°．【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠B＝60°，∠F＝45°，根据平行线的性质可得∠MDB＝∠F＝45°，再利用三角形内角和求出∠BMD即可.【变式10-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数.【答案】∵DE垂直且平分AB，∴AE=BE∴∠EAB=∠B，又∵∠CAE=∠B+30°，故∠CAE=∠B+30°=90°﹣2∠B，∴∠B=20°，∴∠AEB=180°﹣20°×2=140°. 【解析】【分析】先由垂直平分线性质得到AE=BE，接着由等边对等角得到 ∠EAB=∠B ，接着由三角形内角和的性质得到 ∠CAE=90°−2∠B，结合∠CAE=∠B+30° ，得到∠B=20°，再在△ABE中，由三角形内角和得到∠AEB的度数.题型11：直角三角形的判定11.在下列条件：①∠A−∠B=∠C ；②∠A：∠B：∠C=2：3：5 ；③∠A−90°=∠B ；④2∠A=2∠B=∠C 中，能确定 △ ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【解答】解：①∵∠A−∠B=∠C ， ∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180∘ ，∴∠A=90∘ ，故①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=2：3：5 ，∴∠C=180∘×52+3+5=90∘ ，故②符合题意③∵∠A−90∘=∠B ，∴∠A=90∘+∠B ，∴∠A>90∘ ，∴△ABC不可能是直角三角形，故③不符合题意；④∵2∠A=2∠B=∠C ，∴∠A+∠B+∠C=12∠C+12∠C+∠C=2∠C=180° ，∴∠C=90∘ ，故④符合题意综上所述，是直角三角形的是①②④共3个．故答案为：C．【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答即可。【变式11-1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C＝ 12 ∠A+ 13 ∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（ 108011 ）°，∴△ABC为钝角三角形.∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故答案为：C.【变式11-2】如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证△ACE是直角三角形．【分析】利用垂直的定义可得出∠ABC＝∠CDE＝90°，进而可得出∠ACB+∠BAC＝∠CED+∠DCE＝90°，结合∠ACB＝∠CED可得出∠BAC＝∠DCE和∠ACB+∠DCE＝90°，将其代入∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）中可求出∠ACE＝90°，此题得证．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠CED+∠DCE＝90°．∵∠ACB＝∠CED，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）＝90°．∴△ACE是直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形的性质、垂线以及三角形内角和定理，利用三角形内角和定理及角的计算，找出∠ACB+∠DCE＝90°是解题的关键．