初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法同步测试题

这是一份初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法同步测试题，文件包含整式的乘法与因式分解中的求值问题专项50题-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、整式的乘法与因式分解中的求值问题专项50题-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1．已知3×9m×27m=321，求m的值．
【答案】解：∵3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=321，
∴1+2m+3m=21，
∴m=4．
【解析】【分析】先把9m×27m分解成32m×33m，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可求出m的值．
2．先化简再求值：4a（a+1）﹣（a+1）（2a﹣1），其中a=2．
【答案】解：原式=（a+1）（4a﹣2a+1）=（a+1）（2a+1）
当a=2时，
∴原式=3×5=15
【解析】【分析】先化简，然后将a的值代入即可求出答案．
3．先化简，再求值.2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（﹣a+3），其中，a=﹣2，x=1．
【答案】解：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（﹣a+3）
=2x2﹣2x﹣21+a2，
当a=﹣2，x=1时，
原式=2﹣2﹣21+4=﹣17．
【解析】【分析】x先去括号，合并同类项，从而将整式化为最简形式，然后把a和x的值代入即可．
4．先化简，再求值：
[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣ 12 ，b= 13 ．
【答案】解：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b
=[a3b2﹣a2b﹣a2b+a3b2]÷2a2b
=[2a3b2﹣2a2b]÷2a2b
=ab﹣1，
当a=﹣ 12 ，b= 13 时，原式=﹣1 16
【解析】【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
5．先化简，再求值．（x﹣3）2﹣（3+x）（3﹣x），其中x=1．
【答案】解：（x﹣3）2﹣（3+x）（3﹣x）
=x2﹣6x+9﹣9+x2
=﹣6x，
当x=1时，原式=﹣6．
【解析】【分析】先根据整式的运算法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
6．先化简再求值：4（m+1）2﹣（2m+5）（2m﹣5），其中m=﹣3．
【答案】解：4（m+1）2﹣（2m+5）（2m﹣5），
=4（m2+2m+1）﹣（4m2﹣25），
=4m2+8m+4﹣4m2+25，
=8m+29，
当m=﹣3时
原式=8×（﹣3）+29=﹣24+29=5
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
7．先化简，再求值：x（x﹣1）+2x（x+1）﹣（3x﹣1）（2x﹣5），其中x=2．
【答案】解：原式=x2﹣x+2x2+2x﹣（6x2﹣15x﹣2x+5）
=x2﹣x+2x2+2x﹣6x2+15x+2x﹣5
=﹣3x2+18x﹣5，
当x=2时，原式=﹣12+36﹣6=19
【解析】【分析】原式前两项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
8．先化简，再求值：（2x﹣y）2+（6x3﹣8x2y+4xy2）÷（﹣2x），其中 x=23 ，y=﹣2．
【答案】解：原式=4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣2y2=x2﹣y2，
当x= 23 ，y=﹣2时，原式= 49 ﹣4=﹣ 329 ．
【解析】【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2.
【答案】解答：解： 化简：-ab·（a2b 5-ab3-b） =-ab·a2b 5+（-ab）·（-ab3）+（-ab）·（-b） =- a3b 6+ a2b 4+ ab 2 =-（ab2）3+ （ab2）2+ ab2∵ab2=-2 ∴-（ab2）3+ （ab2）2+ ab2 =-（-2）3+（-2）2+（-2） =8+4-2 =10，
【解析】【分析】先利用单项式乘多项式法则进行化简，再代入求值．
10．若 32×9m×27=321 ，求m的值.
【答案】解：∵32×9m×27=321 ，
∴32×32m×33=321 ，
∴32+2m+3=321 ，
∴2+2m+3=21 ，
解得： m=8 ．
【解析】【分析】利用同底数幂的乘法化简，即可得到32+2m+3=321，再计算即可。
11．若 am=6 ， an=2 ，求 a2m−n的值．
【答案】解：a2m−n=(am)2÷an=62÷2=18．
【解析】【分析】首先用含am、an的代数式表示a2m−n可得（am）2÷（an），再将am，an的值代入计算即可；
（1）幂的乘方：底数不变，指数相乘；
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
12．已知m2＋1m2＝4，求m＋1m和m－1m的值．
【答案】解：∵m2+1m2=4，
两边都加上2，得(m+1m)2=6，
∴m+1m=±6，
∵m2+1m2=4，
两边都减2得：(m−1m)2=2，
∴m−1m=±2.
【解析】【分析】先利用配方法将代数式m2＋1m2＝4化简为(m+1m)2=6，再求出m+1m=±6，m−1m=±2即可。
13．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
【答案】解：∵a+b=17，ab=60，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BGF
=a2+b2﹣12a2﹣12（a+b）•b
=a2+b2﹣12a2﹣12ab﹣12b2
=12a2+12b2﹣12ab
=12（a2+b2﹣ab）
=12 [（a+b）2﹣3ab]
=12×（172﹣3×60）
=1092．
【解析】【分析】 由S阴影=S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BGF ，列出关系式，再利用完全平方式进行变形，然后整体代入计算即可.
14．已知 m2+m=2 ，求代数式 m3+3m2+2020 的值.
【答案】解： m3+3m2+2020
=m3+m2+2m2+2020
=m(m2+m)+2m2+2020 ，
又 m2+m=2 ，
所以：原式 =2m2+2m+2020 .
=2(m2+m)+2020
=4+2020
=2024 .
【解析】【分析】由题意将所求代数式变形得原式=m3+m2+2m2+2020=m(m2+m)+2m2+2020，再整体代换即可求解.
15．当 3m+2n=8 时，求 8m×4n 的值.
【答案】解： ∵3m+2n=8
∴8m×4n=(23)m·(22)n
=23m·22n
=23m+2n
=28
=256.
【解析】【分析】 根据幂的乘方及同底数幂的乘方可得8m×4n=(23)m·(22)n=23m·22n=23m+2n，然后代入计算即可.
16．已知实数a，b满足a+b=2，ab=34，求(2a4−a2)÷(−a)2−(a+b)(a−b)的值．
【答案】解：∵a+b=2，ab=34，
∴(2a4−a2)÷(−a)2−(a+b)(a−b)
=2a2−1−a2+b2
=a2+b2−1
=(a+b)2−2ab−1
=22−2×34−1
=4-32-1
=32．
【解析】【分析】分式约分化简，平方差公式，完全平方公式的变形得出 (a+b)2−2ab−1，代数得出 32。
17．(x2−mx+6)(3x−2) 的积中不含x的二次项，求m的值．
【答案】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，
∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m＝0，
解得，m＝ −23 ，
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开为3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，根据它们的乘积中不含x的二次项，可得2+3m＝0，从而求出m的值.
18．已知3既是x﹣4的算术平方根，又是x＋2y﹣10的立方根，求x2﹣y2的平方根.
【答案】解：∵3既是（x-4）的算术平方根，又是（x+2y-10）的立方根，
∴x-4=32=9，x+2y-10=33，
∴x=13，y=12，
x2-y2
=（x+y）（x-y）
=（13+12）×（13-12）
=25
∴x2-y2的平方根为±5.
【解析】【分析】根据算术平方根的平方可得被开方数x-4，根据立方根的立方可得被开方数x+2y-10 ，联立求出x、y的值，然后根据平方差公式可得答案.
19．已知 x2+2x+1 是多项式 x3−x2+ax+b 的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解.
【答案】解：设 x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m) ，
则 x3−x2+ax+b=x3+(m+2)x2+(2m+1)x+m ，
所以 m+2=−1 ， 2m+1=a ， m=b ，
解得 m=−3 ， a=−5 ， b=−3 .
所以 x3−x2−5x−3=(x2+2x+1)(x−3)=(x+1)2(x−3) .
【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好.由题意可假设多项式 x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m) ，则将其展开、合并同类项，并与 x3−x2+ax+b 式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定.
20．如果关于 x 的多项式 2x+a 与 x2−bx−2 的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求 a+2b 的值.
【答案】解：∵(2x+a)(x2−bx−2)=2x3−2bx2−4x+ax2−abx−2a
=2x3−(2b−a)x2−(4+ab)x−2a ，
∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，
∴a−2b=0−2a=10 ，
解得： a=−5 ， b=−52 ，
∴a+2b=−5+2×(−52)=−10 .
【解析】【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可将两个多项式相乘，由题意“ 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10”可得关于a、b的方程组，解方程组可求得a、b的值，再把a、b的值代入所求代数式计算即可求解.
21．已知多项式M除以3x2－2x+4得商式2x+6，余式为3x－1，求多项式M.
【答案】解：根据题意，得：M=（2x＋6）（3x2−2x＋4）＋（3x−1）
=6x3-4x2+8x+18x2-12x+24+3x-1
＝6x3＋14x2−x＋23
所以，多项式M为6x3＋14x2−x＋23
【解析】【分析】根据被除式、除式、商及余式的关系，可得M=（2x＋6）（3x2−2x＋4）＋（3x−1），利用多项式乘多项式将原式展开，然后利用去括号、合并同类项即得结论.
22．有一块直径为2a＋b的圆形木板，挖去直径分别为2a和b的两个圆，求剩下的木板面积是多少？
【答案】解：
π×（2a+b2）2-π×（2a2）2-π×（b2）2
=π×（4a2+4ab+b24+4a24-b24）
=abπ
故剩下的木板面积是abπ.
【解析】【分析】根据圆的面积公式S圆=πr2分别计算出三个圆的面积，用木板面积依次减去挖去的两个圆的面积即可.
23．如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为 xcm 的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）.
【答案】解：由题意，得 x(8−2x)(5−2x)
=x(40−16x−10x+4x2)
=x(4x2−26x+40)
=4x3−26x2+40x ，
答：盒子的容积是 (4x3−26x2+40x)cm3 .
【解析】【分析】 由无盖的长方体盒子的高为x，可求出无盖的长方体盒子的底为8-2x，宽为5-2x，利用长方体的体积=长×宽×高，进解答即可.
24．如果二次三项式 px2+2x−1 在实数范围内可以因式分解,求p的取值范围.
【答案】解：∵二次三项式px2+2x−1在实数范围内可以因式分解，
∴px2+2x−1=0有实数解，
∴△=4+4p⩾0，且p≠0，
解得：p⩾−1且p≠0.
【解析】【分析】由二次三项式在实数范围内可以分解因式，得到根的判别式大于等于0，求出p的范围即可．
25．已知多项式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，试求m和n的值.
【答案】解： (x2﹣mx+n)(x﹣2)
=x3−2x2−mx2+2mx+nx−2n
=x3+(−2−m)x2+(2m+n)x−2n
因为乘积中不含x2项和x项，
∴−2−m=0，2m+n=0.
解得：m=-2,n=4
【解析】【分析】先求出两式的积，根据积中不含x2项和x项得到方程，求解即可.
26．若(x2 +mx－8)(x2－3x+n)的展开式中不含 x2和 x3项，求 m和 n的值.
【答案】解：(x 2 +mx－8)(x 2 －3x+n)
= x4−3x3+nx2+mx3−3mx2+mnx−8x2+24x−8n
= x4+(m−3)x3+(n−3m−8)x2+(mn+24)x−8n
∵展开式中不含 x 2 和 x 3 项
∴m−3=0n−3m−8=0
解得： m=3n=17
【解析】【分析】利用多项式乘多项式法则将(x 2 +mx－8)(x 2 －3x+n)展开，再令x 2 和 x 3 项的系数为0即可.
27．已知常数a、b满足3a×32b＝27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，求a2+4b2的值．
【答案】解：∵3a×32b＝27，
∴3a+2b＝33，
故a+2b＝3，
∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，
∴52a+4b÷53ab＝1，
∴2a+4b﹣3ab＝0，
∵a+2b＝3，
∴2a+4b=6，
∴6﹣3ab＝0，
则ab＝2，
∴a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab
＝32﹣4×2
＝1．
【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
28．已知二次三项式 ax2+bx+1 与 2x2−3x+1 的积不含 x3 项，也不含 x 项，求系数 a、b 的值.
【答案】根据题意列得：（ax2+bx+1）（2x2-3x+1）=2ax4+（2b-3a）x3+（a+2-3b）x2+（b-3）x+1，
∵不含x3的项，也不含x的项，
∴2b-3a=0，b-3=0，
解得a=2，b=3.
【解析】【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令三次项与一次项系数为0，即可求出a与b的值.
29．已知长方形的长是（a+3b）米，宽是（a+2b）米．求它的周长和面积．
【答案】解：周长=[（a+3b）+（a+2b）]×2
=（2a+5b）×2
=（4a+10b）；
面积=（a+3b）（a+2b）
=a2+2ab+3ab+6b2
=a2+5ab+6b2．
【解析】【分析】根据长方形的面积公式和周长公式计算即可；由多项式乘以多项式（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，再合并同类项即可.
30．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值．
【答案】解：∵a2+b2=6a+10b﹣34∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0
∴a=3，b=5
∴5﹣3＜c＜5+3
即 2＜c＜8．
又∵c是△ABC中最长的边长
∴c=5或6或7.
【解析】【分析】移项后，将常数34看成9与25的和，分别与 a2﹣6a，b2﹣10b组成完全平方式(这种方法叫“拆项法”)，再根据平方数的性质求出a、b的值，然后用三角形三边关系定理求出c的取值范围，最后根据题意确定出c的值。
31．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
【答案】解：（1）m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ．
则m2+m+4的最小值是 ；
4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5
【解析】【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
32．若（x﹣1）（x+2）（x﹣3）（x+4）+a是一个完全平方式，求a的值．
【答案】解：原式=（x2+x﹣2）（x2+x﹣12）+a=（x2+x）2﹣14（x2+x）+a+24，
由结合为完全平方式，得到a+24=49，
解得：a=25．
【解析】【分析】原式第一项结合后，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后利用完全平方公式结构特征确定出a的值即可．
33．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；（2）xy．
【答案】解：由题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，
（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，
①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，
=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，
=2（x2+y2），
=49+1，
=50，
∴x2+y2=25；
①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，
∴xy=12．
【解析】【分析】根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．
34．已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值．
【答案】解：∵x﹣y=1，
∴（x﹣y）2=1，
即x2+y2﹣2xy=1；
∵x2+y2=25，
∴2xy=25﹣1，
解得xy=12．
【解析】【分析】把x﹣y=1两边平方，然后代入数据计算即可求出x2+y2的．
35．已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x2+5y2；
（2）（x﹣y）2．
【答案】解：（1）∵x+y=2，xy=﹣1，
∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y）2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30；
（2）∵x+y=2，xy=﹣1，
∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8．
【解析】【分析】（1）原式提取5，利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
36．已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
【答案】解：∵（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，
∴a2+2ab+b2=25①，a2﹣2ab+b2=9②，
∴①+②得：2a2+2b2=34，
∴a2+b2=17，
①﹣②得：4ab=16，
∴ab=4．
【解析】【分析】把已知两个式子展开，再相加或相减即可求出答案．
37．已知(a+b)2=16,ab=4,求a2+b2与(a-b)2的值.
【答案】解：
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2×4=8;
(a-b)2=(a+b)2-4ab=16-4×4=0.
【解析】【解答】
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2×4=8;
(a-b)2=(a+b)2-4ab=16-4×4=0.
【分析】充分了解和的完全平方与差的完全平方之间的关系是本题的关键．
38．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请写出图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
【答案】解：（1）（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
（3）当a+b=7，ab=5时，
（a﹣b）2
=（a+b）2﹣4ab
=72﹣4×5
=49﹣20
=29．
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积可以看作是边长（m﹣n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；
（2）由（1）的结论直接写出即可；
（3）利用（2）的结论，把（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，把数值整体代入即可．
39．已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．
【答案】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x=（2x2﹣2xy）÷2x=x﹣y，
当x﹣y=3时，原式=x﹣y=3
【解析】【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x﹣y=3代入计算即可求出值．
40．若32•92a+1÷27a+1=81，求a的值．
【答案】解：原式可化为：32•32（2a+1）÷33（a+1）=34，
即2+2（2a+1）﹣3（a+1）=4，
解得a=3．
故答案为：3．
【解析】【分析】先根据幂的乘方与积的乘方法则把已知代数式化为同底数幂的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．
41．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）展开式中不含x2和x3项，求（n﹣m）n的值．
【答案】解：（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）
=x4﹣3x3+mx2+nx3﹣3nx2+mnx+3x2﹣9x+3m
=x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n+3）x2+（mn﹣9）x+3m，
∵展开式中不含x2，x3项，
∴n−3=0m−3n+3=0 ，
解得： m=6n=3 ，
当m=6，n=3时（n﹣m）n
=（3﹣6）3
=（﹣3）3
=﹣27．
【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后得出方程组，求出方程组的解，最后代入求出即可．
42．已知：8•22m﹣1•23m=217，求m的值．
【答案】解：由幂的乘方，得
23•22m﹣1•23m=217．
由同底数幂的乘法，得
23+2m﹣1+3m=217．
即5m+2=17，
解得m=3，
m的值是3．
【解析】【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
43．若ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x的一次项，也不含x的三次项，求a，b的值．
【答案】解：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1）
=2ax4﹣3ax3+ax2+2bx3﹣3bx2+bx+2x2﹣3x+1
=2ax4+（﹣3a+2b）x3+（a﹣3b+2）x2+（b﹣3）x+1，
∵积不含x的一次项，也不含x的三次项，
∴b﹣3=0，﹣3a+2b=0，
解得：b=3，a=2．
【解析】【分析】首先利用多项式乘法法则计算出（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1），再根据积不含x3的项，也不含x的项，可得含x3的项和含x的项的系数等于零，即可求出a与b的值．
44．已知，n为正整数，且x2n=7，求（3x3n）2-4（x2）2n的值
【答案】解答： ∵x2n=7， ∴（3x3n）2-4（x2）2n =9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2=9×73-4×72=49×59=2891
【解析】【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘，先把x3n和x2的值求出，然后根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加求解
45．已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为xcm，ycm，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的对角线长和面积．
【答案】∵长方形周长为30cm，
∴2(x+y)=30 ，化简得： x+y=15 ，
x3+x2y−4xy2−4y3 ，
= x2(x+y)−4y2(x+y) ，
= (x+y)(x2−4y2) ，
= (x+y)(x+2y)(x−2y) ，
∵x3+x2y−4xy2−4y3=0 ，
(x+y)(x+2y)(x−2y)=0 ，
∵x>0 ， y>0 ，
∴(x+y)(x+2y)≠0 ，
则 x−2y=0 ，即 x=2y ，
∵x+y=15 ，
∴3y=15 ，解得： y=5 ，
∴x=2y=10 ，
∴长方形的对角线长： x2+y2=102+52=125=55(cm) ，
长方形的面积： xy=10×5=50(cm2) .
【解析】【分析】先将x3+x2y-4xy2-4y3=0化简为(x+y)(x+2y)(x−2y)=0，可得x−2y=0即x=2y，再根据“长方形的周长为30cm”可得x+y=15，再将x=2y代入计算可得x=2y=10，最后利用勾股定理求解即可。
46．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
47．已知a﹦ 12 （ 5 + 3 ），b﹦ 12 （ 5 ﹣ 3 ），求a2﹣ab+b2的值．
【答案】解：a2﹣ab+b2，
=（a﹣b）2+ab，
∵a﹦ 12 （ 5 + 3 ），b﹦ 12 （ 5 ﹣ 3 ），
∴a2﹣ab+b2，
=[ 12(5+3) ﹣ 12 （ 5 ﹣ 3 ）]2+[ 12(5+3) × 12 （ 5 ﹣ 3 ）]，
=3+ 12 ，
=3.5
【解析】【分析】本题需先把a2﹣ab+b2进行整理，化成（a﹣b）2+ab的形式，再把得数代入即可求出结果．
48．已知x-y=3，x2+y2=13，求
（1）xy的值。
（2）x3y-8x2y2+xy3的值。
【答案】（1）解：∵x-y=3，
∴(x-y)2=x2+y2-2xy=9，
又∵x2+y2=13，
∴xy= 12 [(x2 +y2)-(x-y)2]= 12 (13-9)=2
（2）解：由(1)得:
x2+y2=13，xy=2，
∴x3y- 8x2y2+xy3
=xy(x2+y2-8xy)=2×(13-8×2)
=-6
【解析】【分析】（1）将x-y=3同时平方，可得到 x2+y2-2xy=9，再整体代入求值。
（2）利用提公因式法将代数式转化为xy(x2+y2-8xy) ，再整体代入求值。
49．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8.可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ .
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值.
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状.
【答案】（1）（m+1）（m﹣5）
（2）解：∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5
（3）解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形
【解析】【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）.
故答案为（m+1）（m﹣5）；
【分析】（1）先把原式配方得m2﹣4m+4﹣9即（m﹣2）2﹣9，再根据平方差公式分解即可.（2）先把原式配方得（a﹣2）2+（b+3）2+5， 根据非负数的性质可知当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5 ；（3）把a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0的左边展开并配方可得
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，根据非负数的性质可知a＝b，b＝c， 进而可判断△ABC是等边三角形.
50．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 x2−4x+m 有一个因式是 x+3 ，求另一个因式以及 m 的值.
解法一：设另一个因式为 x+n ，得 x2−4x+m=(x+3)(x+n)
则 x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n ，
∴n+3=−4m=3n 解得 n=−7 ， m=−21 .
∴另一个因式为 x−7 ， n 的值为－21.
解法二：设另一个因式为 x+n ，得 x2−4x+m=(x+3)(x+n)
∴当 x=−3 时， x2−4x+m=(x+3)(x+n)=0
即 (−3)2−4×(−3)+m=0 ，解得 m=−21
∴x2−4x+m=x2−4x−21=(x+3)(x−7)
∴另一个因式为 x−7 ， n 的值为－21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 x2−px−6 分解因式的结果中有因式 x−3 ，则实数 p= .
（2）已知二次三项式 2x2+3x−k 有一个因式是 2x+5 ，求另一个因式及 k 的值.
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为 (x+n) ，得 2x2+3x−k=(2x+5)(x+n)
则 2x2+3x−k=2x2+(2n+5)x+5n
∴2n+5=3−k=5n
解方程组，得 n=−1k=5
∴另一个因式为 (x−1) ， k 的值为5
【解析】【解答】（1）解：设另一个因式为（x+m），则 x2−px−6=(x−3)(x+m)
∴x2−px−6=x2+(m−3)x−3m
∴-3m=-6，
解得，m=2，
∵m-3=-p，
∴p=1
【分析】（1）根据题中的方法，设另一个因式为（x+m），则 x2−px−6=(x−3)(x+m) ，把等式右边展开合并得 x2−px−6=x2+(m−3)x−3m ，则-3m=-6，从而可求出m的值，再根据m-3=-p，求出； （2）根据题中的方法，设另一个因式为（x+n），则2x2+3x-k=（2x+5）（x+n），把等式右边展开合并得 2x2+3x−k=2x2+(2n+5)x+5n ，则 2n+5=3−k=5n ，然后解方程即可得到n和k的值，即得到另一个因式.