初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法达标测试

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A．x2•x3＝x6B．x2+x3＝x5C．（﹣x2）4＝x6D．x6÷x5＝x
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
B．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（﹣x2）4＝x8，故本选项不合题意；
D．x6÷x5＝x，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（﹣a﹣1）（1+a）
C．（﹣y﹣x）（﹣x+y）D．（﹣x+1）（x﹣1）
【分析】能利用平方差公式的条件：这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
3．（3分）如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．3或﹣3D．9或﹣9
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．
【解答】解：∵x2+2ax+9是一个完全平方式，
∴2a＝±（2×3），
则a＝3或﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（3分）若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（ ）
A．25B．5C．10D．15
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵m2﹣n2＝5，
∴（m+n）2（m﹣n）2＝（m2﹣n2）2＝25，
故选：A．
【点评】此题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的法则．
5．（3分）把x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x﹣2）2B．x（x2﹣4x+4）C．2x（x﹣2）2D．x（x2﹣2x+4）
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6．（3分）在下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A．y﹣x＝+（x﹣y）B．（y﹣x）2＝﹣（x﹣y）2
C．（y﹣x）3＝（x﹣y）3D．（y﹣x）4＝（x﹣y）4
【分析】根据提公因式法和有理数乘方的法则得出答案．
【解答】解：y﹣x＝+（y﹣x），因此选项A不符合题意，
（y﹣x）2＝（x﹣y）2，因此选项B不符合题意，
（y﹣x）3＝﹣（x﹣y）3，因此选项C不符合题意，
（y﹣x）4＝（x﹣y）4，因此选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查提公因式法和有理数乘方，掌握有理数乘方的计算法则是正确计算的前提．
7．（3分）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（x+y）B．（x﹣y）（x﹣y）
C．（x+y）（﹣x﹣y）D．（x+y）（y﹣x）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2对各选项分别进行判断．
【解答】】解：A、（x+y）（x+y）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、（x﹣y）（x﹣y）中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y）两项都是相同，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、（x+y）（y﹣x）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
8．（3分）计算（a3）2÷a2的结果是（ ）
A．a3B．a4C．a7D．a8
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可．
【解答】解：（a3）2÷a2＝a3×2÷a2＝a6﹣2＝a4，
故选：B．
【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
9．（3分）（﹣0.5）99×2100的计算结果正确的是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣0.5）99×2100
＝（﹣0.5）99×299×2
＝（﹣0.5×2）99×2
＝（﹣1）99×2
＝（﹣1）×2
＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了积的乘方，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
10．（3分）如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
【分析】图二中阴影部分的面积运用整体方法和和差方法表示，就可得到此题结果．
【解答】解：由题意得，图二中阴影部分的面积可表示为：（a﹣b）2和a2﹣2ab+b2，
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：﹣2+50＝ ．
【分析】先化简零指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式＝﹣2+1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查零指数幂，理解a0＝1（a≠0）是解题关键．
12．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝ ；﹣x2+4xy﹣4y2＝ ．
【分析】原式提取公因式y，再利用平方差公式分解即可；原式提取﹣1，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+y2）＝﹣（x﹣2y）2；
故答案为：y（x+2）（x﹣2）；﹣（x﹣2y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）计算：（4x2y3+8x2y2﹣2xy2）÷2xy2＝ ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2xy+4x﹣1，
故答案为：2xy+4x﹣1．
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14．（3分）已知a6÷am＝a2，m的值为 ．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a6÷am＝a2，
∴a6﹣m＝a2，
∴6﹣m＝2，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（3分）（1）如果x2+10x+k是一个整式的平方，那么常数k的值是 ．
（2）如果y2﹣ky+9是一个整式的平方，那么常数k的值是 ．
【分析】（1）根据已知和完全平方式的特点得出k＝52，求出即可；
（2）根据已知和完全平方式的特点得出﹣ky＝±2•y•3，求出即可．
【解答】解：（1）∵x2+10x+k＝x2+2•x•5+k，
∴k＝52＝25，
故答案为：25；
（2）∵y2﹣ky+9＝y2﹣ky+32，
∴﹣ky＝±2•y•3，
解得：k＝±6，
故答案为：±6．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
16．（3分）若实数x、y满足x﹣3＝y，则代数式2x2﹣4xy+2y2的值为 ．
【分析】由x﹣3＝y可得x﹣y＝3，再把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：由x﹣3＝y可得x﹣y＝3，
∴2x2﹣4xy+2y2
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2
＝2×32
＝2×9
＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
17．因式分解：
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）；
（2）8x2﹣2（x﹣y）2．
【分析】（1）通过提取公因式（a﹣b）进行因式分解；
（2）先提取2，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）；
（2）8x2﹣2（x﹣y）2
＝2[4x2﹣（x﹣y）2]
＝2（3x﹣y）（x+y）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣提公因式法．找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
18．分解因式：18a3b+14a2b﹣2abc．
【分析】确定公因式2ab，然后提公因式即可．
【解答】解：原式＝2ab（9a2+7a﹣c）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
19．把一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为xdm的大正方形，两块是边长都为ydm的小正方形，另外五块长、宽分别是xdm、ydm的小长方形，且x＞y．
（1）用含x、y的代数式表示长方形大铁皮的周长；
（2）若每块小长方形的面积为15.5dm2，四个正方形的面积和为100dm2，求该切痕的总长度．
【分析】（1）先根据题意列出算式，再求出即可；
（2）根据已知求出xy＝15.5，x2+y2＝50，根据完全平方公式求出x+y，再求出答案即可．
【解答】解：（1）长方形大铁皮的周长为2（2x+y+x+2y）＝（6x+6y）dm；
（2）∵每块小长方形的面积为15.5dm2，四个正方形的面积和为100dm2，
∴xy＝15.5，2x2+2y2＝100，
∴x2+y2＝50，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝50+2×15.5＝81，
∵x、y为正数，
∴x+y＝＝9，
∴该切痕的总长度是2x+2y+2x+2y+2y+2x＝6x+6y＝6×9＝54．
【点评】本题考查了长方形的性质，整式的混合运算和列代数式，能够正确列出代数式是解此题的关键．
20．例题：若x2+y2﹣2x+6y+10＝0，求x和y的值．
解：∵x2+y2﹣2x+6y+10＝x2﹣2x+1+y2+6y+9＝（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0．
∴x＝1，y＝﹣3．
问题①：已知x2+5y2+4xy﹣2y+1＝0，求2x﹣3y的值．
问题②：已知a、b、c是等腰△ABC的三边，且满足5a2+b2＝6a+4ab﹣9，求等腰三角形的周长．
【分析】阅读例题，运用其方法解决问题：
问题①：仿照例题配方，利用若干个非负数和为0，则所有非负数均等于0，即可；
问题②：先仿照例题求得a和b的值，再根据等腰三角形性质和三角形三边关系分类讨论．
【解答】解：问题①：由x2+5y2+4xy﹣2y+1＝0，得（x+2y）2+（y﹣1）2＝0，解得x＝﹣2，y＝1，
当x＝﹣2，y＝1时，2x﹣3y＝﹣4﹣3＝﹣7．
问题②：由5a2+b2＝6a+4ab﹣9，得（2a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，解得a＝3，b＝6．
∵△ABC是等腰三角形，
∴可分两种情况：a为腰，b为底或b为腰，a为底；
当a为腰，b为底时，
∵3+3＝6，不能构成三角形
∴这种情况不成立
当b为腰，a为底时，
∵3+6＞6，成立
∴等腰三角形的周长＝6+6+3＝15
故△ABC的三边长只能是6，6，3，故其周长为15．
【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，等腰三角形性质，三角形三边关系等，在等腰三角形问题中要注意分类讨论．
21．问题背景：
在学习了完全平方公式后，老师布置了一道作业题：如图，长方形ABCD的长为a，宽为b，面积为4，周长为10，分别以a，b为边作正方形ABEF及ADGH，求两个正方形面积之和．小燕同学认真思考后，发现利用现有知识不能求出a，b的值，但可以用完全平方公式通过适当的变形求a2+b2的值，从而求得两个正方形面积之和．
（1）问题解决：请你依据上述内容填写已知条件和结果：
a+b＝ ，ab＝ ，a2+b2＝ ．
（2）已知x+y＝7，xy＝10，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）由周长可得a+b，由面积可得ab，利用完全平方公式，将a+b，ab的值代入可得结论；
（2）由两个完全平方公式的关系变形后可得．
【解答】解：（1）∵长方形ABCD的周长为10，
∴a+b＝5．
∵长方形ABCD的面积为4，
∴ab＝4．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣8＝17．
故答案为：5，4，17．
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy．
∴（x﹣y）2＝72﹣4×10＝9．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确使用完全平方公式是解题的关键．