数学八年级上册15.2.2 分式的加减达标测试

这是一份数学八年级上册15.2.2 分式的加减达标测试，文件包含1522分式的加减讲+练11大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、1522分式的加减讲+练11大题型-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。


一、单选题
1．化简 x2x−1−xx−1 的结果是（ ）
A．x+1B．x﹣1C．xD．﹣x
【答案】C
【解析】【解答】解：原式＝ x(x−1)x−1 ＝x，
故答案为：C
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果
2．若a+2b＝0，则分式（ 2a+ba2−ab + 1a ）÷ aa2−b2 的值为（ ）
A．32B．92C．﹣ 3b2D．﹣3b
【答案】A
【解析】【解答】解：原式＝[ 2a+ba(a−b) + a−ba(a−b) ]÷ a(a+b)(a−b)
＝ 3aa(a−b) • (a+b)(a−b)a
＝ 3a+3ba ，
∵a+2b＝0，
∴a＝﹣2b，
∴原式＝ 3×(−2b)+3b−2b ＝ 32 ．
故答案为：A．
【分析】先对括号内的分式进行通分，并将除法转化为乘法运算，然后将各分子、分母中能因式分解的进行因式分解，最后约分即可将式子化简，根据已知可得a=-2b，将其代入化简后的式子计算即可.
3．化简 4x2−4 + 1x+2 的结果是（ ）
A．x﹣2B．1x+2C．1x−2D．2x+2
【答案】C
【解析】【解答】解： 4x2−4 + 1x+2
＝ 4(x+2)(x−2) + x−2(x+2)(x−2)
＝ 2+x(x+2)(x−2)
＝ 1x−2 ；
故答案为C．
【分析】先把分母因式分解，再通分，然后进行计算，最后约分即可解答．
4．已知 5x+1(x−1)(x−2)=Ax−1+11x−2 ，则A的取值是（ ）
A．-3B．3C．-6D．6
【答案】C
【解析】【解答】 5x+1(x−1)(x−2)=Ax−1+11x−2 ，
5x+1(x−1)(x−2)=A(x−2)+11(x−1)(x−1)(x−2) ，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故答案为：C.
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值.
5．化简a2+2ab+b2a2−b2﹣ba−b的结果是（ ）
A．aa−bB．ba−bC．aa+bD．ba+b
【答案】A
【解析】【解答】原式=(a+b)2(a−b)(a+b)﹣ba−b=a+ba−b﹣ba−b=a+b−ba−b=aa−b，故选A．
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
二、填空题
6． 计算2xx2−9−1x−3的结果是 .
【答案】1x+3
【解析】【解答】解：原式=2x(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)=x−3(x+3)(x−3)=1x+3.
故答案为：1x+3.
【分析】对原式进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算.
7．计算ba2−b2÷（1﹣aa+b）的结果是 ．
【答案】1a−b
【解析】【解答】原式=b(a+b)(a−b)÷a+b−aa+b=b(a+b)(a−b)•a+bb=1a−b，
故答案为：1a−b．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
8．如果 x2+x−5=0 ，那么代数式 (1+2x)÷x+2x3+x2 的值是 ．
【答案】5
【解析】【解答】当 x2+x=5 时，
∴原式 =x+2x×x2(x+1)x+2
=x2+x
=5
故答案为：5
【分析】先将原式化简，然后将 x2+x=5 代入即可求答案．
9．若 a+b=3 ， ab=1 ，则 1a+1b 的值是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解： 1a+1b=a+bab
将 a+b=3 ， ab=1 代入，得
原式= 31=3
故答案为：3．
【分析】先将分式通分、相加，然后利用整体代入法求值即可．
三、解答题
10．先化简，再求值：（1﹣ 1x+1 ）÷ x−2x+1 ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【答案】解：原式= xx+1 • x+1x−2= xx−2 ，当x=3时，原式= 33−2 =3．
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
11．先化简，再求值： (1+1x−1)÷xx2−1 ，其中 x=3−1 ．
【答案】(1+1x−1)÷xx2−1=(x−1x−1+1x−1)÷x(x+1)(x−1)
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x=x+1 ；
当 x=3−1 时，原式 =3−1+1=3 ．
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
12．先化简，再求值：x2+xx−1−x−1÷x3+x2x2−2x+1．其中x为不等式组x>−13x+1≤x+7的整数解．
【答案】解：原式=[x2+xx−1﹣x+1x−1x−1]÷x2x+1x−12
=x2+x−x2+1x−1•x−12x2x+1
=x+1x−1•x−12x2x+1
=x−1x2，
解不等式，
由①得，x＞﹣1；
由②得，x≤2；
则不等式的解集为﹣1＜x≤2，
其整数解为0，1，2；
当x=0或x=1时，使得原式及解答过程中的分式分母为0，故x=2；
当x=2时，原式=2−122=14．
【解析】【分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得到分式化简的结果，再求出不等式组的整数解，将其代入解析式即可解答．
13．先化简，再求值： (a−1−3a+1)÷a2−4a+4a+1 ，其中 a=(π−2021)0−(12)−2 ．
【答案】解：原式 =[(a−1)(a+1)a+1−3a+1]⋅a+1(a−2)2
=a2−4a+1⋅a+1(a−2)2
=(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a−2)2
=a+2a−2
∵a=(π−2021)0−(12)−2=1−4=−3
∴当 a=−3 时，
原式 =15 ．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
14．已知 A=(mn−nm)⋅3mnm−n
（1）化简A；
（2）若 m+n−23=0 ，求A的值．
【答案】（1）解： A=(m2mn−n2nm)⋅3mnm−n
=(m+n)(m−n)mn⋅3mnm−n
=3(m+n)
（2）解：∵m+n−23=0 ，
∴m+n=23 ，
∴A=3(m+n)
=3×23
=6
【解析】【分析】（1）利用分式的基本性质化简求值即可；
（2）先求出 m+n=23 ， 再代入计算求解即可。
同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.
注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
题型1：同分母的分式相加减
1.计算.
（1）2ab−4ab−1ab ;
（2）x2x+y−y2x+y ;
【答案】（1）解：原式= 2−4−1ab = −3ab
（2）解：原式= x2−y2x+y=(x+y)(x−y)x+y=x−y
【解析】【分析】（1）根据同分母分式的减法运算整理可得结果；
（2）根据同分母分式的减法进行运算，分解分子进行约分可得结果.
【变式1-1】计算：（1）； （2）；
（3）； （4）
【答案】
解：（1）；
（2）
（3）；
（4）
.
【总结】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简．
异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.
注意：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
题型2：异分母的分式相加减
2.计算：（1）aa2−ab−1a+b．
【答案】解：原式=aa（a−b）−1a+b
=1a−b−1a+b
=a+b(a−b)(a+b)−a−b(a−b)(a+b)
=a+b−a+b(a−b)(a+b)
=2ba2−b2.
【解析】【分析】先通分，再计算即可。
（2）化简：2x2+2x−1x．
【答案】解： 2x2+2x−1x，
=2x(x+2)−(x+2)x(x+2)，
=2−(x+2)x(x+2)，
=−xx(x+2)，
=−1x+2．
【解析】【分析】先通分，再利用分式的减法计算即可。
（3）x2−4x2−2x−1−2x+x2x2−x .
解：原式= (x+2)(x−2)x(x−2)−(x−1)2x(x−1)
= x+2x−x−1x
= x+2−x+1x
= 3x .
【变式2-1】（1）；（2）；（3）．
【点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式与即的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化．
【答案】
解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式．
【总结】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．
【变式2-2】计算：（1）；（2）.
【答案】
解：（1）
．
（2）
.
分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
注意：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.
题型3：分式的混合运算
3.计算（1）x−2x2+x÷x2−4x+4x+1+1x
解： x−2x2+x÷x2−4x+4x+1+1x
=x−2x(x+1)⋅x+1(x−2)2+1x
=1x(x−2)+x−2x(x−2)
=x−1x(x−2) ．
(x+1x2−1+xx−1)÷x+1x2−2x+1
解： 1x+1+1x−1−x2+1x2−1
=x−1(x−1)(x+1)+x+1(x−1)(x+1)−x2+1(x−1)(x+1)
=−(x−1)2(x−1)(x+1) ，
=−x−1x+1 ；
a−21+2a+a2÷ （a −3aa+1 ）.
解： a−21+2a+a2÷(a−3aa+1)
=a−2(a+1)2÷a2+a−3aa+1
=a−2(a+1)2⋅a+1a(a−2)
=1a(a+1) .
【变式3-1】计算：（1）；（2）．
【答案】
解：（1）
．
（2）
．
【变式3-2】 （1）；
（2）．
【答案】
解：（1）原式

．
（2）原式
零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.
注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到.
负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
题型4：整数指数幂与计算
4.计算：（1）20210+（13）﹣1．
【答案】解：20210+（13）﹣1
＝1+3
＝4．
（2）(π−2022)0−(−12)−2．
【答案】解：原式＝1﹣4
＝﹣3
【解析】【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
【变式4-1】计算： (−1)2022+(23)2−(π−3.14)0−3−2
【答案】解：原式 =1+49−1−19
=13 .
【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、0次幂的性质及负整数指数幂的法则，先算乘方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
【变式4-2】计算：
（1）52−18−3×(−2019)0+(13)−1
解：原式= 52−32−3×1+3=22
（2）-12020+（3.14-π）0-（- 12 ）-2
解：-12020+（3.14-π）0-（- 12 ）-2
=-1+1-4
=-4
科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
题型5：用科学计数法表示小数
5.新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（ ）
A．9.07×10-10 B．9.07×10-11 C．9.07×10-8 D．9.07×10-7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000907=9.07×10-7．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式5-1】用科学记数法表示：-3105000= ，；0.000305= 。
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：-3105000=-3.105×106．
0.000305=3.05×10-4．
故答案为：-3.105×106；3.05×10-4．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式5-2】人体红细胞与我们的生命活动息息相关，是通过血液运送氧气的最主要的媒介．红细胞的直径约为0.00000767米，请把数0.00000767用科学记数法表示为
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000767=7.67×10-6．
故答案为：7.67×10-6．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
题型6：分式化简求值-直接代入
6.已知x＝−32，对代数式x2x−1+11−x先化简，再求值.
【答案】解：原式＝x2x−1−1x−1
＝x2−1x−1
＝(x−1)(x+1)x−1
＝x+1，
当x＝−32时，原式＝−12.
【解析】【分析】待求式可变形为x2x−1−1x−1，然后根据同分母分式减法法则对其进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
【变式6-1】先化简，再求值：x+3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=2
【答案】解：原式＝x+3x−2÷(x+2)(x−2)−5x−2
=x+3x−2⋅x−2x2−9
=x+3x−2⋅x−2(x+3)(x−3)
=1x−3；
当x=2时，原式=12−3=−1
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
【变式6-2】先化简，再求值：(1x−1−1x+1)÷x2x2−2，其中x=12．
【答案】解：原式=[x+1(x−1)(x+1)−x−1(x+1)(x−1)]÷x2(x+1)(x−1)
=2(x−1)(x+1)×2(x+1)(x−1)x
=4x
当x=12时，原式=412=8．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
题型7：分式化简求值-整体代入
7.已知x2+2x−5=0，求代数式(x+1−3x−1)÷x−2x2−x的值．
【答案】解：(x+1−3x−1)÷x−2x2−x
=[(x+1)(x−1)x−1−3x−1]÷x−2x2−x，
=x2−1−3x−1÷x−2x2−x，
=x2−4x−1÷x−2x2−x，
=(x+2)(x−2)x−1⋅x(x−1)x−2，
=(x+2)x，
=x2+2x．
当x2+2x−5=0时，x2+2x=5，
∴原式=5．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 x2+2x=5， 最后代入计算求解即可。
【变式7-1】已知m2+3m−4=0，求代数式(m+2−5m−2)÷m−3m2−2m的值.
【答案】解：(m+2−5m−2)÷m−3m2−2m，
=((m+2)(m−2)m−2−5m−2)÷m−3m2−2m，
=m2−4−5m−2·m(m−2)m−3，
=m2−9m−2·m(m−2)m−3，
=(m+3)(m−3)m−2·m(m−2)m−3，
=m(m+3)，
∵m2+3m−4=0
∴m2+3m=4
∴原式=m(m+3)=m2+3m=4
【解析】【分析】先化简分式，再根据 m2+3m−4=0， 计算求解即可。
【变式7-2】已知 m2−m−1=0 ，求 3m2m−1⋅(m−2m−1m) 的值．
【答案】解： 3m2m−1⋅(m−2m−1m)
=3m2m−1⋅(m2m−2m−1m)
=3m2m−1⋅m2−2m+1m
=3m2m−1⋅(m−1)2m
=3m(m−1)
=3(m2−m) ，
由已知m2−m−1=0得：m2−m=1，
∴原式=3 × 1=3
【解析】【分析】先化简分式，再求出 m2−m=1， 最后代入计算求解即可。
题型8：分式化简求值-选值代入
8.先化简分式(a2+2a+1a2−1−11−a)÷a2+2aa−1，再从－2，－1，1，2这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】解：原式=[(a+1)2(a+1)(a−1)+1a−1]×a−1a2+2a
=(a+1a−1+1a−1)×a−1a(a+2)
=a+2a−1×a−1a(a+2)
=1a
根据分式有意义的条件，a≠−2且a≠−1且a≠1，且a≠0，
所以当a=2时，原式=12=22
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
【变式8-1】先化简 x+11−x÷(1+x2+x1−x2) ，再从 −1【答案】解： x+11−x÷(1+x2+x1−x2)
=x+11−x÷(1−x21−x2+x2+x1−x2)
=x+11−x÷1+x1−x2
=x+11−x×(1−x)(1+x)1+x
=x+1
因为 −1当 x=0 时，原式 =0+1=1
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，接着约分化简，最后再从 −1【变式8-2】化简：(3x−1−x−1)÷x−2x2−2x+1，并从不等式组x−3(x−2)≥24x−2<5x−1的解集中选择一个合适的整数解代入求值．
【答案】解：(3x−1−x−1)÷x−2x2−2x+1
=3−(x+1)(x−1)x−1÷x−2(x−1)2
=3−(x2−1)x−1⋅(x−1)2x−2
=4−x2x−1⋅(x−1)2x−2
=(2+x)(2−x)x−1⋅(x−1)2x−2
=−(2+x)(x−1)
=−(x2+2x−x−2)
=−x2−x+2，
x−3(x−2)≥2①4x−2<5x−1②
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−1，
∴不等式组的解集为−1∴不等式组的整数解为0，1，2，
∵分式要有意义，
∴x−1≠0x−2≠0，
∴x≠1且x≠2，
∴满足题意的整数x的值是0，
∴当x=0，原式=2．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 不等式组的整数解为0，1，2， 最后计算求解即可。
题型9：分式混合运算的实际应用
9.如图，A种小麦试验田是边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；B种小麦试验田是边长为（a+b）的正方形．
（1）设两块试验田都收获了m（kg）小麦，求A，B两种小麦单位面积产量的比．
（2）当a=2b时，A，B两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若A，B两种小麦单位面积产量相同，求a,b满足的关系式．
【分析】（1）分别表示出两个阴影部分面积，根据收获的小麦重量求出各自的单位面积产量，进而求出之比即可；
（2）把a=2b代入比较大小即可；
（3）根据两种小麦单位面积产量相同，确定出a与b的关系式即可．
【解答】解：（1）根据题意得：A种小麦：，B种小麦：，
则A，B两种小麦单位面积产量的比为；
（2）把a=2b代入得：，
，
∴B种小麦单位产量较大；
（3）根据题意得：
，
整理得：4a2-4b2=4（a+b）（a-b）=（a+b）2，
∵a＞b,∴a-b≠0，
∴4（a-b）=a+b,
整理得：3a=5b.
【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
【变式9-1】“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．
（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【分析】（1）分别计算出两种水稻的单位面积产量，再比较那种的水稻的产量高；
（2）利用分式的除法法则计算即可．
【解答】解：（1）“水稻1号”试验田的面积是（a2-1）米2，单位面积产量是千克/米2；
“水稻2号”试验田的面积是（a-1）2米2，单位面积产量是千克/米2；
∵a＞1，
∴（a-1）2＞0，a2-1＞0．
∵a2-1-（a-1）2=2a-2=2（a-1）＞0，
∴a2-1＞（a-1）2．
∴
所以，“水稻2号”的单位面积产量高．
所以，“水稻2号”的单位面积产量是“水稻1号”的单位面积产量的倍．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式除法的运算法则和分式比较大小的方法是解决本题的关键．
题型10：探究类题型-新定义问题
10.定义新运算：a+b=，若a⊕（-b）=4，则的值是 。
【解答】解：由题意可知：=4，
∴原式=
故答案为：−
【变式10-1】定义运算：a⊗b＝，比如2⊗3＝．下面给出了关于这种运算的几个结论：
①2⊗(−3)＝；
②此运算中的字母a,b均不能取零；
③a⊗b=b⊗a；
④a⊗（b+c）=a⊗b+a⊗c.
其中正确的是 ．（把所有正确结论都写在横线上）
【分析】利用题中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．
【解答】解：∵2⊗（-3）=，∴①正确；
∵a⊗b=，
∴a≠0且b≠0，
∴②正确；
∵b⊗a=，a⊗b=
∴a⊗b=b⊗a,
∴③正确；
∵a⊗（b+c）=，a⊗b+a⊗c=，
∴④不一定正确．
故答案为：①②③
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式10-2】对于任意非零实数a,b,定义运算“☆”如下：a☆b=，则2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010=
根据题中的新定义将所求式子变形，拆项抵消后即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010
题型11：探究类题型-条件形变求值
11.已知实数a、b、c满足 a+bc=b+ca=a+cb ；
计算： (a+b)(b+c)(a+c)abc .
【答案】解：设 a+bc=b+ca=a+cb =k，则
b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
当a+b+c≠0，则k=2，
∴(a+b)(b+c)(a+c)abc = kc·ka·kbabc =k3=8；
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
∴(a+b)(b+c)(a+c)abc = (−a)(−b)(−c)abc =-1．
【解析】【分析】先设 a+bc=b+ca=a+cb =k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．
【变式11-1】比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P=aa+1+bb+1，Q=1a+1+1b+1，比较P、Q的大小．
【答案】解：P=aa+1+bb+1=a(b+1)+b(a+1)(a+1)(b+1)=2ab+a+b(a+1)(b+1)=a+b+2(a+1)(b+1)，Q=1a+1+1b+1=a+b+2(a+1)(b+1)，则P=Q．
【解析】【分析】首先把P和Q通分相加，把ab=1代入，然后进行比较即可．
【变式11-2】已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc = a−b+cb = −a+b+ca ，求 (a+b)(b+c)(c+a)abc 的值．
【答案】解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得： a+b−cc = a−b+cb = −a+b+ca = a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c = a+b+ca+b+c =1，即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此时原式= 8abcabc =8；当a+b+c=0时，可得：a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，则原式= −c−a−babc=﹣1．综上可知， (a+b)(b+c)(c+a)abc 的值为8或﹣1
【解析】【分析】根据比例的等比性质进行解答，分情况进行讨论，共有a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况，对分式进行通分和约分，求出最终的值即可。