期末考前基础练练练-分式（55题）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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期末考前基础练练练-分式 一．分式的定义（共2小题）1．下列四个式子：，x2+x，m，，其中分式的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据分式的定义可得．【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母上字母，所以这两个是分式，故选：B．【点评】本题考查的是分式的定义，解题的关键是看分母上有没有字母．2．在，，，，中，分式的个数是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：是分式，不是分式，不是分式，是分式，是分式，故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．二．分式有意义的条件（共3小题）3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≠0 B．x≠1 C．x≠2 D．x≠1且x≠2【分析】直接利用分式有意义则分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：C．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．4．若式子无意义，求代数式（y+x）（y﹣x）+x2的值．【分析】根据式子无意义可确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．【解答】解：∵式子无意义，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y2﹣x2+x2＝y2＝（）2＝．【点评】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义．5．当x取何值时，下列分式有意义？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】直接利用分式无意义则分母为0，进而得出答案．【解答】解：（1）当1﹣2x≠0，即x≠时，分式有意义；（2）当|x|﹣1≠0，即x≠±1时，分式有意义；（3）当x﹣2≥0且2x﹣6≠0，即x≥2且x≠3时，分式有意义；（4）当x取任意实数时，x2+5＞0，分式都有意义；（5）∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x≠1时，x2﹣2x+1≠0，分式有意义．【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，正确把握分式的无意义的条件是解题关键．三．分式的值为零的条件（共3小题）6．若分式的值是零，则x的值是（　　）A．x＝﹣2 B．x＝±3 C．x＝2 D．x＝﹣2或±3【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值是零，∴x+2＝0，x2﹣9≠0解得：x＝﹣2，x≠±3，故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．7．已知分式，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义．求a+b的值．【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．【解答】解：∵x＝2时，分式的值为零，∴2﹣b＝0，b＝2．∵x＝﹣2时，分式没有意义，∴2×（﹣2）+a＝0，a＝4．∴a+b＝6．【点评】注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．8．若a，b为实数，且＝0，求2a+3b的值．【分析】依据＝0，即可得出（a﹣4）2+|b2﹣9|＝0，利用非负数的性质以及分式有意义的条件，进而得到a，b的值．【解答】解：∵＝0，∴（a﹣4）2+|b2﹣9|＝0，解得a＝4，b＝±3，又∵b+3≠0，∴b≠﹣3，∴b＝3，∴2a+3b＝2×4+3×3＝17．【点评】本题主要考查了分式的值为0的条件以及非负数的性质，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四．分式的值（共2小题）9．若分式的值为正，则x的取值范围为（　　）A．x≥﹣ B．x≤﹣ C．x＞﹣且x≠0 D．x＜﹣【分析】由于分母不能为0，则x2＞0，加上分式的值为正，所以2x+1＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得2x+1＞0且x2≠0，解得x＞﹣且x≠0，所以x的取值范围为x＞﹣且x≠0．故选：C．【点评】本题考查了分式的值：当分式的分子分母同号时，分式的值为正，注意分母不能为0．10．已知四个多项式A＝x2+1，B＝x+1，C＝mx﹣1，D＝nx+1，下列说法中正确的个数为（　　）①若A＝B2，则x＝1；②若A﹣D＝B+C，则x＝m+n+1；③若x为正整数，且为整数，则x＝1；④若2B•D＝2nx2﹣nx+2，则当x＞时，D＜B．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别对各个说法进行判断，再求出其正确个数即可．【解答】解：若A＝B2，即x2+1＝（x+1）2，解得：x＝0，故①结论不符合题意；若A﹣D＝B+C，即x2+1﹣（nx+1）＝x+1+mx﹣1，解得：x＝0或x＝m+m+1，故②结论不符合题意；，即＝＝1﹣，x为正整数，1﹣为整数，则x＝1，故③结论符合题意；2B•D＝2nx2﹣nx+2，即2（x+1）（nx+1）＝2nx2﹣nx+2，解得：x＝0或n＝﹣，∵x＞，∴n＝﹣，D﹣B＝nx+1﹣（x+1）＝nx﹣x＝﹣x，∵x＞，∴﹣x＜0，∴D﹣B＜0，D＜B，故④结论符合题意．∴说法中正确的个数为2个．故选：B．【点评】本题考查了分式的运算，综合性较强，难度适中．五．分式的基本性质（共2小题）11．将分式中，x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：将分式中，x，y的值同时扩大为原来的2倍，得，所以分式的值比原来扩大2倍．故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．12．若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）A．不变 B．缩小3倍 C．扩大4倍 D．扩大3倍【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得＝＝＝×可见新分式是原分式的．故选：B．【点评】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．六．约分（共2小题）13．分式化简的结果是（　　）A． B． C．b+1 D．【分析】原式分子分解因式后，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝＝．故选：D．【点评】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．14．约分：（1）．（2）．（3）．（4）．【分析】直接利用分式的性质化简，进而得出答案．【解答】解：（1）＝＝．（2）＝﹣＝﹣2（y﹣x）2．（3）＝＝．（4）＝＝．【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．七．通分（共2小题）15．若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　）A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n）【分析】分式与的公分母是2（m+n）（m﹣n），据此作出选择．【解答】解：分式与的公分母是2（m+n）（m﹣n），则分式的分子应变为6m（m﹣n）＝6m2﹣6mn．故选：A．【点评】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．16．通分：（1），，；（2），，．【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同分母的形式即可得解．【解答】解：（1），，；（2），，．【点评】本题考查通分，解题的关键是掌握通分的方法．八．最简分式（共2小题）17．下列说法正确的是（　　）A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为﹣3 D．分式是最简分式【分析】根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D．【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；B、分式中x，y都扩大3倍后的值为＝3×，即分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意；C、分式的值为0时，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本选项说法正确，C符合题意；D、分式＝，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了最简分式，分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．18．分式，，，中，最简分式有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用最简分式定义进行分析即可．【解答】解：分式，，，中，最简分式有，，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．九．最简公分母（共2小题）19．对分式，，通分时，最简公分母是（　　）A．30x2y2 B．30x2yz C．30xyz D．30x2y2z【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：对分式，，通分时，最简公分母是30x2yz．故选：B．【点评】本题考查了最简公分母的确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．20．分式，，的最简公分母是（　　）A．2x B．2x﹣4 C．2x（2x﹣4） D．2x（x﹣2）【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：，，的最简公分母是2x（x﹣2），故选：D．【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．一十．分式的乘除法（共2小题）21．计算：（1）x5•x7+x6•（﹣x3）2+2（x3）4；（2）（a﹣2）•．【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，再合并同类项得出答案；（2）直接将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝x12+x6•x6+2x12＝x12+x12+2x12＝4x12；（2）原式＝（a﹣2）•＝a+2．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘法、分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22．计算：．【分析】先分解因式，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝••＝．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意运算顺序．一十一．分式的加减法（共3小题）23．计算：+﹣．【分析】先通分，再进行加减运算即可．【解答】解：+﹣＝+﹣＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．24．计算：．【分析】先把分母化成同分母，再根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．【解答】解：＝﹣＝＝＝﹣1．【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．25．化简下列式子：．【分析】原式变形后，利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝+﹣＝＝＝＝．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．一十二．分式的混合运算（共2小题）26．分式计算：（1）﹣；（2）．【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；（2）先算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）﹣＝﹣＝＝＝＝；（2）＝•÷＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．27．计算：（1）（a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）；（2）（﹣a+1）÷．【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）先算括号内的减法，再算除法即可．【解答】解：（1）（a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）＝a2﹣2ab+b2﹣（b2﹣4a2）＝a2﹣2ab+b2﹣b2+4a2＝5a2﹣2ab；（2）（﹣a+1）÷＝•＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的运算法则和运算顺序．一十三．分式的化简求值（共7小题）28．先化简，再求值：，其中a＝3．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝﹣，当a＝3时，原式＝﹣＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．29．先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x为整数且满足不等式组．【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，由，可以得到x的取值范围，再选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x﹣1+）÷＝×＝×＝×＝．由，可得：2＜x≤3，∵x+1≠0，x≠0，∴x≠﹣1，x≠1，∴x＝3，当x＝3时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和解一元一次不等式组的方法．30．先化简：•﹣（+1），然后选取一个你喜欢的x的值代入计算．【分析】先计算括号内的式子，同时将将分式的分子和分母分解因式，然后化简，再选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：•﹣（+1）＝•﹣＝＝，∵（x+1）（x﹣1）≠0，x﹣3≠0，∴x≠±1，x≠3，当x＝2时，原式＝＝1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式乘法和加减法的运算法则．31．先化简，再求值，其中m＝﹣1．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（﹣m﹣1）＝＝＝＝，当m＝﹣1时，原式＝＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．32．先化简，再求值：，其中m只能在0，1，﹣2这三个值中取一个合适的值．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．【解答】解：＝＝，∵m≠0，且m≠1，∴m＝﹣2，∴当m＝﹣2时，原式＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．33．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知变形，进而代入得出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝，∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，原式＝＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．34．已知，B＝（m﹣4）（m+1）﹣m2，当B＝0时，求A的值．【分析】根据已知可得（m﹣4）（m+1）﹣m2＝0，从而求出，然后利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，最后再把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵B＝0，∴（m﹣4）（m+1）﹣m2＝0，解得：，＝•＝•＝•＝2（m+3）＝2m+6，当时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣+6＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．一十四．负整数指数幂（共3小题）35．计算：．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．36．计算：【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝7﹣4+1﹣9＝﹣5．【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．37．计算．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝（﹣3）2+4×1﹣8+1＝9+4﹣8+1＝6．【点评】本题考查了有理数的加法，乘法，乘方，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．一十五．分式方程的定义（共2小题）38．给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一进行判断．【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有＝2，＝，共有2个．故选：B．【点评】本题考查的是分式方程，解题的关键是掌握分式方程的定义．39．已知方程：①＝0，②＝1③x+＝2+④（x+）（x﹣6）＝﹣1．这四个方程中，分式方程的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．1．【分析】利用分式方程的定义判断即可．【解答】解：①＝0，是分式方程；②+＝1，是分式方程；③x+＝2+，是分式方程；④（x+）（x﹣6）＝﹣1，不是分式方程，则分式方程的个数是3．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．一十六．分式方程的解（共4小题）40．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】由题意可得x＝2，再把x＝2代入正式方程中进行计算即可．【解答】解：∵关于x的分式方程无解，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∵，∴x＝1﹣m＝2，∴m＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，明确分式方程无解的条件是解题关键．41．关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（　　）A．m＜﹣6 B．m＞6 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2【分析】先解分式方程，可得x＝3﹣，根据题意可得，x＞0，且x﹣2≠0，进行计算即可得出答案．【解答】解：，，x+m﹣2m＝3（x﹣2），解得：x＝3﹣，∵3﹣＞0且3﹣≠2，∴m＜6且m≠2．故选：D．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解进行求解是解决本题的关键．42．关于x的方程＝a﹣1无解，则a的值是（　　）A．a＝1 B．a＝0或 a＝﹣1 C．a＝﹣1 D．a＝1或a＝0【分析】先解方程方程可得（a﹣1）x＝3a﹣1，再由方程无解得到a﹣1＝0或a﹣1＝3a+1，分别求出a的值即可．【解答】解：＝a﹣1，2a＝（a﹣1）（x﹣1），（a﹣1）x＝3a﹣1，∵方程无解，∴a﹣1＝0或x＝1，解得a＝1或a＝0，故选：D．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．43．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m≥﹣1且m≠3 D．m＞﹣1且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣2＝x﹣3，解得：x＝m+1，由分式方程的解是非负数，得到m+1≥0，且m﹣3≠0，解得：m≥﹣1且m≠3，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．一十七．解分式方程（共3小题）44．解分式方程（1）（2）（3）（4）【分析】（1）变形后方程两边同时乘以（x﹣2）2得出x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边同时乘以x﹣2得出﹣x+2＝2（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；（3）方程两边同时乘以x﹣3得出2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可；（4）变形后方程两边同时乘以2（x﹣2）得出1+（x﹣2）＝﹣6，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1），﹣1＝，方程两边同时乘以（x﹣2）2，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，所以x＝4是原分式方程的解，即原分式方程的解为x＝4；（2），方程两边同时乘以x﹣2，得﹣x+2＝2（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原分式方程无解；（3），方程两边同时乘以x﹣3，得2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），解得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣3＝0，所以x＝3是增根，即原分式方程无解；（4），+＝﹣，方程两边同时乘以2（x﹣2），得1+（x﹣2）＝﹣6，解得：x＝﹣5，检验：当x＝﹣5时，2（x﹣2）≠0，所以x＝﹣5是原分式方程的解，即原分式方程的解为x＝﹣5．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．45．解分式方程：（1）．（2）．（3）．【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：1﹣3（x﹣2）＝（1﹣x），解得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣2≠0，所以：x＝3是原方程的根；（2）去分母得：3x﹣（x+2）＝0，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0所以：x＝1是原方程的增根，则原方程无解；（3）去分母得：3（x+3）﹣（x﹣3）＝6，解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，所以：x＝﹣3是原方程的增根，则原方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．46．解分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4，解得：x＝6，检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝6；（2）去分母得：﹣（x+2）2+16＝4﹣x2，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．一十八．分式方程的增根（共3小题）47．关于x的分式方程．（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程无解，求m的值．【分析】（1）将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得m值即可；（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，解得x的值，再分别代入（1）中的（1﹣m）x＝8，即可解得m值；（3）分原分式方程有增根时和（1﹣m）x＝8无解两种情况求得m值即可．【解答】解：去分母，得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），（1﹣m）x＝8，（1）当方程的增根为x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，当x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；当x＝﹣1时，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，所以m的值为﹣3或9时，方程有增根；（3）当方程无解时，即 当1﹣m＝0时，（1﹣m）x＝8无解，所以m＝1；当方程有增根时，原方程也无解，即m＝﹣3或m＝9时，方程无解所以，当m＝﹣3或m＝9或m＝1时方程无解．【点评】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．48．已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，求a的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x＝0或2，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：﹣＝1，去分母得：x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），解得：ax﹣3x+10＝0，∵分式方程有增根，∴x＝0或2，当x＝0时，0﹣0+10＝0，此时不存在a的值，当x＝2时，2a﹣6+10＝0，∴a＝﹣2，∴a的值为﹣2．【点评】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程有增根的含义是解题的关键．49．若关于x的方程有增根，求实数m的值．【分析】先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．【解答】解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，整理，得（2m﹣1）x＝m+2，∴2m﹣1≠0，解得m≠，当x＝0时，（2m﹣1）×0＝m+2，解得m＝﹣2；当x＝﹣1时，（2m﹣1）×（﹣1）＝m+2，m＝﹣，∴实数m的值为﹣2或﹣．【点评】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求解．一十九．分式方程的应用（共6小题）50．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地的距离为110千米，B，C两地的距离为100千米，甲骑自行车每小时比乙快2千米，结果两人同时到达C地，则乙骑自行车每小时行驶的距离为（　　）A．15千米 B．20千米 C．25千米 D．30千米【分析】设乙骑自行车每小时行驶的距离为x千米，则甲骑自行车每小时行驶的距离为（x+2）千米，利用时间＝路程÷速度，结合两人同时到达C地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设乙骑自行车每小时行驶的距离为x千米，则甲骑自行车每小时行驶的距离为（x+2）千米，根据题意得：＝，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴乙骑自行车每小时行驶的距离为20千米．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．51．瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来将提高50%，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（　　）A．80km/h B．70km/h C．75km/h D．65km/h【分析】设汽车原来的平均速度是x km/h，则升级后汽车行驶的平均速度为（1+50%）xkm/h，由题意：420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50%，行驶时间缩短2h，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，则升级后汽车行驶的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝70，经检验：x＝70是原方程的解，即汽车原来的平均速度70km/h．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．52．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了4000元，乙种商品共用了4800元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多16元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为120元，乙种商品的销售单价为136元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+16）元，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量＝总价÷单价可求出购进甲、乙两种商品的数量，设甲种商品按原销售单价销售了a件，根据利润＝销售总价﹣进货成本，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+16）元．依题意，得：，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，∴x+16＝96．答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为96元；（2）甲乙两种商品的销售量为4000÷80＝50（件）．设甲种商品按原销售单价销售（120﹣80）a+（120×0.7﹣80）×（50﹣a）+（136﹣96）×50≥2520件，则（120﹣80）a+（120×0.7﹣80）×（50﹣a）+（136﹣96）×50≥2520解得：a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．53．泰安市在2021年12月迎接全国文明城市复检工作中，全市人民积极参与，身穿红马甲的创城志愿者分布在城乡的各个角落，为文明城市创建贡献自己的一份力量．幸福社区为了进一步美化小区环境，要在小区内建造一座假山，需要租用车辆运送泥土．租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完用土量，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．（1）求甲、乙两车单独运完用土量各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？【分析】（1）设甲车单独运完用土量需运x趟，则乙车单独运完用土量需运2x趟，根据“租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲车单独运完用土量所需趟数，再将其代入2x中，可求出乙车单独运完用土量所需趟数；（2）设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟运费为（y﹣200）元，根据两车各运12趟需支付运费4800元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，将其代入18y及36（y﹣200）中，可分别求出单独租用甲、乙两车所需运费，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设甲车单独运完用土量需运x趟，则乙车单独运完用土量需运2x趟，根据题意得：+＝1，解得：x＝18，经检验，x＝18是所列方程的解，且符合题意，∴2x＝2×18＝36．答：甲车单独运完用土量需运18趟，乙车单独运完用土量需运36趟．（2）设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟运费为（y﹣200）元，根据题意得：12y+12（y﹣200）＝4800，解得：y＝300，∴18y＝18×300＝5400，36（y﹣200）＝36×（300﹣200）＝3600．∵5400＞3600，∴若单独租用一台车，租用乙车合算．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．54．某小区为了促进生活垃圾分类工作的开展，准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价；（2）若该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出B种垃圾桶每组的单价，再将其代入（x+150）中，即可求出A种垃圾桶每组的单价；（2）设购买B种垃圾桶m组，则购买A种垃圾桶（40﹣m）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过18000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论．【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，根据题意得：＝，整理得：3x﹣1200＝0，解得：x＝400，经检验，x＝400是所列方程的解，且符合题意，∴x+150＝400+150＝550．答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元．（2）设购买B种垃圾桶m组，则购买A种垃圾桶（40﹣m）组，根据题意得：400（40﹣m）+550m≤18000，解得：m≤，又∵m为正整数，∴m的最大值为13．答：最多可以购买B种垃圾桶13组．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．55．在新冠肺炎疫情期间，某校为了常态化的测量学生的体温，拟购买若干个额温枪发放到班主任和相关人员手中，现有A型、B型两种型号的额温枪可供选择．已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪的数量与用4500元购进B型额温枪的数量相等．（1）每只A型、B型额温枪的价格各是多少元？（2）若该校计划购进型B型额温枪共30只，且购进两种型号额温枪的总金额不超过5800元，则最多可购进A型额温枪多少只？【分析】（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，由“用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等”列出方程可求解；（2）设购进A型号额温枪a只，“购买两种额温枪的总资金不超过5800元”列出不等式可求解．【解答】解：（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，由题意可得：，解得：x＝200，经检验：x＝200是原方程的根，∴x﹣20＝180元，答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；（2）设购进A型号额温枪a只，∵200a+180（30﹣a）≤5800，∴a≤20，∴最多可购进A型号额温枪20只．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．