第01讲 三角形三大模型之角平分线模型-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

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典题精练
【例1】佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.
【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】（1）根据题意，设，∴，解得：，∴.
（2）. 理由：∵与的平分线交于点，
∴，.
∵，∴.
∵是的外角，∴，∴.
【例2】如图，∠CBF、∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC、∠CBF的平分线BD、BE交于点D、E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数：
（2）若∠A=α，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=β，则∠ADB=______．
【答案】（1）∠D==35°；
（2）∠E=90°-α；
（3）β．
【例3】已知四边形ABCD，AB∥CD，∠A=∠C．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．求证：∠BPC=90°-∠BCE；
（3）如图3，在（2）的条件下，CE与AD，BP分别相交于点F，G．CQ平分∠BCD，∠AFE=∠BPC，∠D=4∠DCP．求∠GCQ的度数．
【解析】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC；
（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ECD，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ECD=2∠ECP，
∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴2∠PBC+∠BCE+2∠ECP=180°，
即：∠PBC+∠BCE+∠ECP=90°，
∵∠BPC+∠PBC+∠BCE+∠ECP=180°，
∴∠BPC+∠BCE=90°，
∴∠BPC=90°-∠BCE；
（3）∵∠AFE=∠BPC，∠BPC=90°-∠BCE；
∴∠AFE=90°-∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠AFE=90°-∠BCE；
解得∠BCE=60°，
∴∠AFC=180°-∠BCE=120°，∠BPC=60°，
∵∠AFC=∠D+∠DCE，∠D=4∠DCP，
∴4∠DCP+∠DCE=120°，
∵∠DCE=2∠DCP，
∴6∠DCP=120°，
解得∠DCP=∠ECP=20°，
∴∠B=∠D=80°，
∴∠PCB=40°，
∵∠PCB+∠P+∠BCP=180°，
∴∠BCP=180°-40°-60°=100°，
∵CQ平分∠BCP，
∴∠BCQ=50°，
∴∠GCQ=∠BCE-∠BCQ=60°-50°=10°．
【例4】已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
（1）若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A=50°，∠C=100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A=140°，∠G=100°，∠BCD=120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
【答案】（1）①25°；②当∠A=∠C时，BM∥DN；（2）30°．
【解析】解：（1）①∵∠A=50°，∠C=100°，
∴在四边形ABCD中，
∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=210°，
∴∠CBE+∠CDF=150°．
∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN，
∴∠PBC+∠PDC=∠CBE+∠CDF=（∠CBE+∠CDF）=×150°=75°，
∴∠BPD=360°-∠A-（∠ABC+∠ADC）-（∠PBC+∠PDC）=360°-50°-210°-75°=25°；
②当∠A=∠C时，BM∥DN．
证明：如图，连接BD．
∵BM∥DN，
∴∠BDN+∠DBM=180°，
∴∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE=360°-180°=180°，
即（∠FDC+∠CBE）+（∠ADB+∠ABD）=180°，
∴（360°-∠ADC-∠CBA）+（180°-∠A）=180°，
∴（360°-360°+∠A+∠C）+（180°-∠A）=180°，
∴∠A=∠C．
（2）如图，延长DC交BP于点Q．
∵∠A=140°，∠G=100°，∠BCD=120°，
∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDG+∠G=540°，
∴∠ABC+∠CDG=180°，
∴∠CBE+∠CDF=360°-180°=180°，
∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，
∴∠CBP+∠CDP=（∠CBE+∠CDF）=90°，
∵∠BCD=∠CBP+∠CQB，∠CQB=∠QDP+∠BPD，
∴∠BCD=∠CBP+∠QDP+∠BPD，
∴∠BPD=∠BCD-（∠CBP+∠QDP）=120°-90°=30°．
思维拓展训练（选讲）
训练1. 某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ 12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）
＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC=12∠A=12α；
（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），
＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，
由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；
由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．
训练2. 新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，则△DEF为______倍角三角形．
（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
【答案】（1）3；
（2）∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；
（3）∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
【解析】解：（1）∵∠E=40°，∠F=35°，
∴∠D=180°-40°-35°=105°，
∴∠D=3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵∠POM=30°，
∴∠OAB+∠OBA=150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
∴∠CBA+∠CAB=∠OAB+∠OBA=75°，
∴∠C=105°．
①当∠CBA=2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=25°；
②当∠CAB=2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=50°；
③当∠C=2∠CAB时，∵∠C=105°，
∴∠BAC=∠C=52.5°；
④当∠C=2∠CBA时，∵∠C=105°，
∴∠CBA=∠C=52.5°，
∴∠BAC=22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；
（3）解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF，
∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°，
∴∠E+∠F=90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①，
∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90° ②；
①×2-②得：∠ABO=2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i）若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°，
∴∠E=22.5°，
∴∠ABO=45°；
ii）若∠E=3∠F，
∴∠E=67.5°，
∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）；
iii）若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°，
∴∠ABO=60°；
iv）若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°，
∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
复习巩固
【练习1】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P=（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【解析】解：如图，∵∠D+∠C=210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°，
∴∠DAB+∠ABC=150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°-∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=165°，
∴∠P=180°-（∠PAB+∠ABP）=15°．
故选：B．
【练习2】如图，△ABC 中，点 D,E 分别在∠ABC 和∠ACB 的平分线上，连接 BD,DE,EC,若∠D+∠E=295°， 则∠A 是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】D
【详解】解：在四边形BDEC中，∠DBC+∠EBC+∠D+∠E=360°
∵∠D+∠E=295°∴∠DBC+∠ECB =360°-295°=65°
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB∴∠ABC=2∠DBC, ∠ACB=2∠ECB
∴∠ABC+∠ACB=2∠DBC+2∠ECB=2(∠DBC+∠ECB)=130°∴∠A=50°故选：D
【练习3】如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022=______．
【答案】
【练习4】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=85°-50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°．
【练习5】如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长；
（2）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小．
【解析】解：（1）∵AD是△ABC的中线，BD=5，
∴BC=2BD=2×5=10，
∵AF⊥BC，S△ABC=40，
∴BC⋅AF＝×10⋅AF＝40，
∴AF=8；
（2）在△ABE中，∠BED为它的一个外角，且∠BED=40°，∠BAD=25°，
∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，
∵BE是△ABD的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABE=2×15°=30°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，∠BAF=90°-∠ABC=90°-30°=60°．
【练习6】如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是______°，当DP⊥OE时，x=______；
②若∠EDF=∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
解：（1）①∵∠AOB=40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE=20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO=∠BOE=20°；
∵∠DOE=∠DEO=20°，
∴DO=DE，∠ODE=140°，
当DP⊥OE时，∠ODP=∠ODE=70°，
即x=70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO=20°，∠EDF=∠EFD，
∴∠EDF=80°，
又∵∠ODE=140°，
∴∠ODP=140°-80°=60°，
∴x=60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF=90°-x°，
∵∠AOC=20°，
∴∠EFD=20°+x°，
当∠EFD=4∠EDF时，20°+x°=4（90°-x°），
解得x=68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF=x°-90°，∠EFD=180°-20°-x°=160°-x°，
∴当∠EFD=4∠EDF时，160°-x°=4（x°-90°），
解得x=104；
综上所述，当x=68或104时，∠EFD=4∠EDF．
【练习7】阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【解答】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD=12（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=12∠ABC+12∠A−12∠ABC=12∠A＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠BCD）=12（∠A+∠ACB+∠BCD）=12（∠A+180°）=12（60°+180°）＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB=23（∠ABC+∠ACB）=23（180°﹣∠BAC）=23（180°﹣60°）＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1=12∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．
测量和度数
测量工具
量角器
示意图
与的平分
线交于点
测量数据
第一次
第二次
第三次
第四次
…
…