第05讲 乘法公式及最值等综合应用-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

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典题精练
⑴ 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的 部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
⑵如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为( )
A． B．
C． D．


⑶计算
①
②
③
④
⑤
⑥.
⑴ C；⑵C; ⑶①；②；③；④；⑤；⑥.
计算⑴；⑵；⑶
⑷ ；⑸；⑹ .
⑴；⑵⑶；
⑷；⑸ ；⑹.
⑴ 有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片为（ ）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
⑵ 化简：;
⑶；
⑷
⑸
⑹.
【解析】⑴ B；
⑵ ;
⑶ ； ⑷； ⑸；
⑹
⑴ ; ⑵；
⑶ ;
⑷ .
【解析】⑴ ;
⑵ 原式==20002；
⑶原式===；
⑷

⑴ 先化简，再求值:，其中
⑵ 已知，求代数式的值．
⑶，其中.
⑷若，求代数式的值.
⑴ 原式,
当时，原式.
⑵ 原式


当时，原式.
⑶ 原式=
==+=.
⑷ 原式=.
⑴ 若，求的值.
⑵ 已知，求的值.
⑴ .
⑵ ，.
⑴已知，求的值.
⑵已知，求的值.
⑶已知，求① ；② .
⑷已知，，求的值.
【解析】⑴ 条件化简得，.
⑵ ，所以，故.
⑶ ①=45.
②===.
⑷ ，
.
已知，求 ① ；② .
① ∵ ∴，
则两边同时除以得，
② =.
思维拓展训练（选讲）
训练1. 请设计一个几何图形，验证.
训练2. 已知实数，满足，，求的值．（北大附期末考试）
①
②
①+②得.
①②得.
∴.
训练3. ⑴ 求的个位数字
⑵ 化简计算：
⑴
个位数字的循环个一周期，周期为：、、、，，所以个位为，故个位为．
⑵
训练4. ⑴ 求的值.
⑵
⑴.
⑵ 设，
则==.
训练5.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：
a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.
【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4；
（2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1， ，∴a+b+c=.．
训练6.若x满足(7﹣x)(x﹣4)=2，求(x﹣7)2+(4﹣x)2的值：
解：设7﹣x=a，x﹣4=b，则(7﹣x)(x﹣4)=ab=2，a+b=(7﹣x)+(x﹣4)=3
所以(x﹣7)2+(4﹣x)2=(7﹣x)2+(x﹣4)2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=32﹣2×2=5
请仿照上面的方法求解下面的问题：(1)若x满足(8﹣x)(x﹣3)=3，求(8﹣x)2+(x﹣3)2的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)19；(2)33．
【详解】(1)设8﹣x=a，x﹣3=b，则(8﹣x)(x﹣3)=ab=3，a+b=(8﹣x)+(x﹣3)=5，
∴(8﹣x)2+(x﹣3)2=(a+b)2﹣2ab=52﹣2×3=19；
(2)∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CF=5，∴MF=DE=x﹣2，DF=x﹣5，
∴(x﹣2)•(x﹣5)=28，∴(x﹣2)﹣(x﹣5)=3，
∴阴影部分的面积=FM2﹣DF2=(x﹣2)2﹣(x﹣5)2；
设x﹣2=a，x﹣5=b，则(x﹣2)(x﹣5)=ab=28，a﹣b=(x﹣2)﹣(x﹣5)=3，
∴a=4，b=7，a+b=11，∴(x﹣2)2﹣(x﹣5)2=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=11×3=33．即阴影部分的面积是33．
复习巩固
【练习1】 (1)计算= .
【解析】.
(2)若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b）=，a-b=，∴a+b=÷=，故选B．
(3)若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于_____．
【答案】4
【详解】∵a+b﹣2＝0，∴a+b＝2．
∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4故答案为4．
(4)若2x﹣y＝3，xy＝3，则＝_____．
【答案】21
(5)已知求_________________。
【答案】47
【解析】∵，，∴两边同时除以x得：，即，
∴，即，∴，∴.
(6)，则= .
11.
【练习2】从下图的变形中验证了我们学习的公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【练习3】⑴ 计算 ；
⑵ 计算 ；
⑶ 化简：;
⑷ 如果是一个完全平方式，则（ ）
A．9y2B．3y2C．y2D．6y2
(5)已知是一个完全平方式，那么的值是__________．
【解析】⑴ ;
⑵ ;
⑶ 原式;
⑷ A.
(5)
【练习4】⑴ ;
⑵ .
【解析】⑴ ;
⑵ 原式=++
==5050.
【练习5】⑴先化简，再求值：，其中.
⑵先化简，再求值：，其中.
⑴ 原式.
⑵
又，故原式=
【练习6】若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．
【答案】（1）12；（2）56；（3）±2
【解析】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．
【练习7】已知实数、、满足，求的值.
将代入
得
，代入得8.
阅读以下材料：
；
；
（1）根据以上规律，= ；
（2）利用（1）的结论，求的值
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）中最高次项为，
所以=-1；
（2）
=（5-1）（）=