第09讲 二元一次方程组的九大应用-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

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典题精练

【例1】（1）某班学生中，男生人数比女生人数的多1人，女生人数是男生人数的2倍少17人，则女生有______人，男生有________人．
【答案】25 21
【解析】设男生有人，女生有人，由题意得，，解得：，故答案为：，．
（2）在抗击“新冠肺炎”的战役中，某品牌消毒液生产厂家计划向部分学校共捐赠13吨消毒液．如果这13吨消毒液的大瓶装（500克）与小瓶装（250克）两种产品分装的数量（按瓶计算）比为．那么这两种产品应该各分装多少瓶？若设生产的消毒液应需分装大瓶、小瓶，则以下所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
（3）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
（4）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，根据题意，列出的方程组是__________．
【答案】
【详解】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，
依题意，得：．故答案为：．
（5）小明在拼图时，发现个样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图(1);小红看见了，说:“我也来试试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图(2)那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为__________.
【答案】
【详解】设小长方形的长是xmm，宽是ymm，
根据题意得： ，解得
∴小长方形的面积为：
（6）学生问老师：“您今年多大？”教师风趣地说：“我像你这么大时，你才5岁；你到我这么大时，我已经44岁了．”教师今年_____岁．
【答案】31
【解析】解：设教师今年x岁，学生今年y岁，
根据题意得：，解得：．故答案为：31．
【例2】为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
【答案】每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克
【解析】设甲、乙两种食物各需 x 克、y 克，则，解得.
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克．
【例3】、两地相距36千米，两人步行，甲从到，乙从到.两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度.
设甲的速度是千米/时，乙的速度是千米/时，根据题意得
解方程组得.
答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.
【例4】⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精 加工6吨或粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？
⑴
⑵设甲、乙两队每天排水量分别为m，则
解得
甲：（天）； 乙：（天）
另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需天，则
解得
答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．
【例5】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
设甲、乙服装的成本分别为元，元，根据题意可得
解得
答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．
【例6】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和销售价如下表：（注：获利＝售价一进价）
（1）设商场购进x件A商品，请用x的代数式表示购进B商品的件数．（2）求商场购进A、B两种商品各多少件?（3）该商场购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品要打折销售，若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利81600元，B种商品的售价为每件多少元？
【详解】解：（1）购进B商品的件数：（360000﹣1200x）÷1000＝360﹣1.2x；
（2）设商场购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得：
，解得：．
答：该商场购进A种商品200件，B种商品120件；
（3）设B种商品打折后的售价为每件a元．则
（1380﹣1200）×200×2+（a﹣1000）×120＝81600，解得 a＝1080．
答：B种商品打折后的售价为每件1080元．
【例7】雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【解析】（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10=4（辆）．故答案为：4．
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，依题意，得：，解得：，
答：需要甲型车8辆、乙型车10辆；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，
依题意，得：5m+8n+10(14﹣m﹣n)=120，∴n=10﹣m．
又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，∴或或，
∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．
方案1所需运费为500×10+600×4=7400（元）； 方案2所需运费为400×2+500×5+600×7=7500（元）；
方案3所需运费为400×4+600×10=7600（元）．
∵7400＜7500＜7600，∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．
思维拓展训练(选讲)
训练1. 在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm．
【答案】2
【详解】解：设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，
根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者，则，
大长方形的长可以表示为，则，，解得．故答案是：2．
训练2. 已知为正整数，关于，的二元一次方程组有整数解，求的值．
法一：两式相加得,
可为：2或7
当时，，．
当时，，（舍）．
所以 ．
法二：解方程组得，
若为正整数，则应该是和的公约数，推得，所以．
训练3. 已知方程组有非负整数解，求正整数的值．
两式相加得，. 故正整数可为1,3,7
代入可得，故
所以.
训练4. 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团人准备同时租用这三种客房共间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？
设租二人间间，三人间间，四人间间，
则，得，
∵均为正整数，
∴有，，；，
故有两种租房方案.
训练5. 某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？
（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
【详解】解：（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，
依题意，得：，解得：．
答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．
（2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，依题意，得：，．
，均为非负整数，为偶数，当时，；
当时，；当时，；当时，．
共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．
（3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，
依题意，得：，解得：，．
答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
复习巩固
【练习1】（1）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x,y,那么下列求出这两个角的度数的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
（2）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（ ）
A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人
【答案】C
【解析】解：设生产螺栓和生产螺帽的人数分别为，人，
根据题意得，解得，生产螺栓和生产螺帽的人数分别为40人，50人．故选C．
（3）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
（4）如图，《九章算术》现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(年)，刘徽为《九章》所作的注本《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系《九章算术》不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可得故选A．
（5）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵她去学校共用了16分钟，∴x+y=16，
∵小颖家离学校1200米，∴，∴，故选：B.
（6）如下图，在长方形ABCD中，放入六个形状相同的长方形，所标尺寸如图，图中阴影部分面积( )
A．36cm2B．96cm2C．44cm2D．84cm2
【答案】C
【解析】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得： ，解得：，
∴阴影部分的面积为：（6＋4）×14−2×8×6＝44（cm2），故选：C．
【练习2】某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
【详解】（1）解：设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务，
解得：；
答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；
（2）（元）
答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
【练习3】为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
⑴设“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为元/千瓦时，根据题意，得

解得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．
⑵（元）．
答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．
【练习4】某彩电厂为响应国家家电下乡号召，计划生产A、B两种型号的彩电，两种型号的彩电生产成本和售价分别为：A型每台成本800元，售价1000元，B型每台成本1000元，售价1300元，经预算，彩电厂若投入成本64000元，两种彩电全部出售后，可获利18000元．
（1）请问彩电厂生产A、B两种型号的彩电各多少台？
（2）彩电厂计划将这两种彩电售出后获得的全部利润购买两种物品：体育器材和实验设备支援某希望小若体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，把钱全部用尽且两种物品都购买的情况下，请求出所有的购买方案．
【答案】（1）A型号彩电30台，B型号彩电40台；（2）方案1：体育器材1套，实验设备4套；方案2：体育器材2套，实验设备2套
【详解】解：（1）设彩电厂生产A、B两种型号的彩电各x台，y台，由题意得：
，解得：，
答：A型号彩电30台，B型号彩电40台．
（2）设购买体育器材a套，实验器材b套，由题意得：6000a+3000b=18000，
∵a、b为整数，∴①a=1，b=4；②a=2，b=2．
答：购买方案为：方案1：体育器材1套，实验设备4套；
方案2：体育器材2套，实验设备2套．
每克甲种食物
每克乙种食物
其中所含蛋白质
0.5单位
0.7单位
其中所含铁质
1单位
0.4单位
A
B
进价/（元/件）
1200
1000
售价/（元/件）
1380
1200
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
第一次
第二次
甲种货车（辆）
2
5
乙种货车（辆）
3
6
累计运货（吨）
13
28