2024年北京市东城区中考数学一模试卷+

这是一份2024年北京市东城区中考数学一模试卷+，共54页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.33×107B．13.3×105C．1.33×106D．0.13×107
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）
4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a+1＜b+1C．a2＜b2D．a＞﹣b
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）在反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
6．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．∠CBD＝90°C．∠COB＝2∠DD．∠COB＝∠C
7．（2分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（ ）
（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）
A．5.2mB．4.8mC．3.7mD．2.6m
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝ ．
11．（2分）方程的解为 ．
12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．（2分）为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：
以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有 人．
14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE＝DA，连接DB．若∠C＝20°，则∠DBE的度数为 °．
15．（2分）阅读材料：
如图，已知直线l及直线l外一点P．
按如下步骤作图：
①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；
②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；
③作直线PQ．
回答问题：
（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的 ；
（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝ ．
16．（2分）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．
（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：
在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ；
（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．
小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式的值．
20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE＝AB，延长DA到点F，使得AF＝AD，连接BD，DE，EF，FB．
（1）求证：四边形BDEF是矩形；
（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的长．
21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是 ，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是 ；
（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为 米．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；
（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（6分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.1班168 171 172 174 174 176 177 179
2班168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）；
（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是 cm．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当，CD＝4时，求BF的长．
25．（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）直接写出击球点的高度；
（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1 d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若点（2，1）在该抛物线上，求t的值；
（2）当t≤0时，对于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范围．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F．连接AF交BC于点G．
（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；
（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，
①补全图形；
②∠DAF与∠BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d．
（1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为 ；
（2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为 ；
（3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
2024年北京市东城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．
【解答】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；
C、三棱锥俯视图是三角形（三角形内部有一点与三角形的三个顶点相连接），故此选项不合题意；
D、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2．（2分）2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.33×107B．13.3×105C．1.33×106D．0.13×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1330000＝1.33×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对边相等，对边平行求解即可．
【解答】解：如图，
∵点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，
∴AD＝BC＝3，AD∥BC，
∴顶点D的坐标为（3，2），
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a+1＜b+1C．a2＜b2D．a＞﹣b
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，
∴|a|＞|b|，
∴选项A不符合题意；
∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，
∴a+1＜b+1，
∴选项B符合题意；
∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴1＜a2＜4，0＜b2＜1，
∴a2＞b2，
∴选项C不符合题意；
∵0＜b＜1，
∴﹣1＜﹣b＜0，
∵﹣2＜a＜﹣1，
∴a＜﹣b，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）在反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数比例系数k＝xy（k≠0），依次判断各个选项即可．
【解答】解：根据题意得，k＝xy＝1×2＝2，
∴将A，B，C，D四个选项中点的坐标代入得到k＝6的点在反比例函数的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是运用xy＝k解决问题．
6．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．∠CBD＝90°C．∠COB＝2∠DD．∠COB＝∠C
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
7．（2分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，
∴两次摸出的小球标号相同的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（2分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（ ）
（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）
A．5.2mB．4.8mC．3.7mD．2.6m
【考点】解直角三角形的应用；正多边形和圆．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据正五边形的性质可得∠AOB＝72°，△AOB的面积＝m2，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠AOF＝36°，AB＝2AF，从而设OF＝x m，再在Rt△OAF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面积＝正五边形的面积＝m2，
∵OA＝OB，OF⊥AB，
∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，
设OF＝x m，
在Rt△OAF中，AF＝OF•tan36°≈0.7x（m），
∴AB＝2AF＝1.4x（m），
∴AB•OF＝，
•1.4x•x＝，
解得：x≈3.71，
∴AB＝1.4x≈5.2（m），
∴该正五边形的边长大约是5.2m，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥1．
【分析】根据被开方数不小于零的条件
【解答】解：由题可知，
x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝ 2x（y+3）（y﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2x（y+3）（y﹣3）．
【分析】提取公因式后再用平方差公式分解即可．
【解答】解：2xy2﹣18x＝2x（y2﹣9）＝2x（y+3）（y﹣3）．
故答案为：2x（y+3）（y﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法和提取公因式法是关键．
11．（2分）方程的解为 x＝9 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝9．
【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x（x﹣3），得3（x﹣3）＝2x，
3x﹣9＝2x，
3x﹣2x＝9，
x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以分式方程的解是x＝9．
故答案为：x＝9．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m＜1．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．（2分）为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：
以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有 240 人．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】240．
【分析】总人数乘以样本中体育锻炼时间不低于7小时的人数所占比例即可．
【解答】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500×＝240（人），
故答案为：240．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE＝DA，连接DB．若∠C＝20°，则∠DBE的度数为 35 °．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】35．
【分析】由∠A＝90°，∠C＝20°，求得∠ABC＝70°，然后证明Rt△EBD≌Rt△ABD，推导出∠DBE＝∠DBA，或根据角平分线的性质证明BD平分∠ABC，求得∠DBE＝∠ABC＝35°，于是得到问题的答案．
【解答】解法一：∵∠A＝90°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠BED＝90°，
在Rt△EBD和Rt△ABD中，
，
∴Rt△EBD≌Rt△ABD（HL），
∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，
故答案为：35．
解法二：∵∠A＝90°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
∵DE⊥BC，且DE＝DA，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，
故答案为：35．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明∠DBE＝∠DBA是解题的关键．
15．（2分）阅读材料：
如图，已知直线l及直线l外一点P．
按如下步骤作图：
①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；
②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；
③作直线PQ．
回答问题：
（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的 垂直平分线 ；
（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝ ．
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】图形的相似；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）垂直平分线．
（2）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．
（2）由题意可得AP＝CP，CQ＝BQ，可证明△PCQ∽△ACB，根据相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．
故答案为：垂直平分线．
（2）由作图过程可知，AP＝CP，
∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CQ＝BQ，
∴，
∵∠PCQ＝∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴S1：S2＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
16．（2分）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．
（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：
在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 V+F﹣E＝2 ；
（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．
小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 32 个．
【考点】等边三角形的性质；欧拉公式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【答案】（1）V+F﹣E＝2；
（2）32个．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（2）设正五边形x块，正三边形y块，则由上面的规律数可以看出，棱数E＝5x，而顶点数V＝×5x，有欧拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的边数等于所有黑皮的边数；组成方程组解决问题．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；
故答案为：V+F﹣E＝2；
（2）设正五边形x块，正三边形y块，由题意得
，
解得
所以正五边形为12块，正三边形为20块．
所以需要准备正三角形和正五边形的材料共32个．
故答案为：32．
【点评】本题考查等边三角形的性质，欧拉公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】3﹣1．
【分析】利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2×+1﹣2
＝4﹣+1﹣2
＝3﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜4．
【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜4，
解不等式②，得：x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式的值．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化简约分即可求出答案．
【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，
∴2x﹣y＝9，
∴
＝
＝，
当2x﹣y＝9时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的值，关键是求出2x﹣y＝9．
20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE＝AB，延长DA到点F，使得AF＝AD，连接BD，DE，EF，FB．
（1）求证：四边形BDEF是矩形；
（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的长．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【分析】（1）先证明四边形BDEF为平行四边形，再由菱形的性质得AB＝AD，则BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性质得∠ADB＝60°，AB＝AD，进而证明△ABD是等边三角形，得AB＝AD＝BD＝2，则DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的长即可．
【解答】（1）证明：∵AE＝AB，AF＝AD，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴AE＝AB＝AF＝AD，
∴BE＝DF，
∴平行四边形BDEF是矩形；
（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四边形BDEF是矩形，
∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠ADC＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝2，
∴DF＝2AD＝4，
∴BF＝＝＝2，
即BF的长为2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是 y＝0.6x﹣15.8 ，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是 y＝0.7x﹣20.1 ；
（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为 43 米．
【考点】相似三角形的应用；平行投影；近似数和有效数字；由实际问题抽象出二元一次方程；解二元一次方程组；由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；
（2）43．
【分析】（1）由同一时刻测量，可得＝，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于x、y的方程；
（2）已经求得y＝10，将y＝10代入任一个方程，可求得x的值，即得钟楼的高度．
【解答】解：（1）由同一时刻测量，可得＝，
第一次测量：，化简得，y＝0.6x﹣15.8，
第二次测量：＝，化简得，y＝0.7x﹣20.1，
故答案为：y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；
（2）对于y＝0.6x﹣15.8，代入y＝10，
得，0.6x﹣15.8＝10，
解得：x＝43，
∴钟楼AB＝43米，
故答案为：43．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到＝是本题的关键．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；
（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+1；B的坐标为（﹣3，0）；
（2）m的取值范围是m≥3．
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），可得，即可解得一次函数的解析式为y＝x+1；从而求出B的坐标为（﹣3，0）；
（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1，
解得x＝﹣3，
∴B的坐标为（﹣3，0）；
（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，
∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴﹣3+m≥0，
解得m≥3，
∴m的取值范围是m≥3．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式﹣3+m≥0解决问题．
23．（6分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.1班168 171 172 174 174 176 177 179
2班168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 1 班（填“1”或“2”）；
（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是 170 cm．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）175、176；
（2）1；
（3）170．
【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；
（2）根据方差的概念，即可作答；
（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．
【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183
从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：（174+176）÷2＝175，故m＝175；
其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n＝176；
故答案为：175、176．
（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．
1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，
从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，
故答案为：1．
（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）
设2班第六位选手的身高为x厘米，
则（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，
x≥169，
据此，第六位可选的人员身高为170、183，
若为170时，2班的身高数据分布于170﹣178，若为183时，2班的身高数据分布于171﹣183，
从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是170厘米，
故答案为：170．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当，CD＝4时，求BF的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）10﹣2．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，根据勾股定理得到OF＝＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠EAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OC∥AD，
∵CDAD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴，
设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，
∴OF＝＝x，
∵OC∥AD，
∴△AFD∽△OFC，
∴，
∴，
∴x＝2，
∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）直接写出击球点的高度；
（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）1.1m；
（2）y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，
（3）＜
【分析】（1）令y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35中x＝0，求出y的值即可（或由表格信息直接得出）；
（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，再比较即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，
故击球点的高度为1.1m；
（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为（3，2），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2，
过点（4，1.9），
∴1.9＝a（4﹣3）2+2，
解得a＝﹣0.1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，
（3）∵第一次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），
∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，
∵第二次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．
解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），
∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，
∵+1＜+1.5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若点（2，1）在该抛物线上，求t的值；
（2）当t≤0时，对于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）t＝1；
（2）﹣2≤x1≤2．
【分析】（1）点（2，1）代入解析式求得b＝﹣2a，进一步即可求得t＝1；
（2）根据二次函数的性质即可得到x1的取值范围．
【解答】解：（1）∵点（2，1）在该抛物线
∴4a+2b+1＝1，
∴b＝﹣2a，
∴t＝﹣＝1；
（2）∵t≤0时，x2＞2，
∴N（x2，y2）的对称点的横坐标x3＜﹣2，
∵抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）开口向上，y1＜y2，
∴﹣2≤x1≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F．连接AF交BC于点G．
（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；
（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，
①补全图形；
②∠DAF与∠BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）∠DAF＝∠BAC，证明见解答；
（2）①补全图形见解答；
②∠DAF＝∠BAC仍然成立，证明见解答；
（3）BD2+CG2＝DG2，证明见解答．
【分析】（1）运用等腰三角形性质可得AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，再证明A、E、F在同一条直线上，即可得出答案；
（2）①按照题意作图即可；
②过点A作 AH⊥BC于点H，可证得△ADH≌△DFE（AAS），得出AD＝DF，即△ADF是等腰直角三角形，即可证得结论；
（3）将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，可证得∠DBG′＝90°，运用勾股定理可得BD2+BG′2＝DG′2，再证得△ADG′≌△ADG（SAS），即可得出答案．
【解答】解：（1）当点D与点B重合时，∠DAF＝∠BAC，理由如下：
如图1，
∵点D与点B重合，点D，E是BC边上的点，且DE＝BC，
∴E是BC的中点，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，
∵EF⊥BC，
∴∠AEB＝∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠BEF＝180°，即A、E、F在同一条直线上，
∴∠BAF＝∠BAC，即∠DAF＝∠BAC；
（2）①补全图形如图2所示：
②∠DAF＝∠BAC仍然成立，理由如下：
如图3，过点A作 AH⊥BC于点H，则∠AHD＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠AHD＝∠DEF，
∵∠ADH+∠FDE＝∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠DAH＝∠FDE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴AH＝BC，
∵DE＝BC，
∴AH＝DE，
∴△ADH≌△DFE（AAS），
∴AD＝DF，
∵∠ADF＝90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠BAC；
（3）BD2+CG2＝DG2，理由如下：
如图4，将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，
则BG′＝CG，AG′＝AG，∠ABG′＝∠ACG，∠BAG′＝∠CAG，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACG＝45°，
∴∠ABC+∠ABG′＝90°，即∠DBG′＝90°，
∴BD2+BG′2＝DG′2，
由（2）知∠DAF＝45°，即∠DAG＝45°，
∴∠BAD+∠CAG＝45°，
∴∠BAD+∠BAG′＝45°，即∠DAG′＝45°，
∴∠DAG′＝∠DAG，
在△ADG′和△ADG中，
，
∴△ADG′≌△ADG（SAS），
∴DG′＝DG，
∴BD2+CG2＝DG2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d．
（1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为 3 ；
（2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为 2 ；
（3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】阅读型；新定义；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）2；
（3）．
【分析】（1）根据定义得出点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，进而得出结果；
（2）延长NQ，MP交于点A，得出四边形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），从而得出OA＝＝，进而得出结果；
（3）设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，可得出△PBQ是等边三角形，可得出点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，从而得出当点B越往上，MN越大，从而推出当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小；当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，可求得AE＝，AF＝OF＝EF＝2，从而得出BF和BE的值，进而得出BM和BN的值，进一步得出结果；
当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，
∴线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为：1+2＝3，
故答案为：3；
（2）如图1，
延长NQ，MP交于点A，
∵QN⊥y轴，PM⊥x轴，
∴∠ANO＝∠AMO＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴四边形ANOM是矩形，
∴∠NAM＝90°，MN＝AO，
∵线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动，
∴∠AQP＝∠APQ＝45°，
∴AQ＝AP＝1，
设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），
∴OA＝＝，
∴当m＝1时，OA最小＝2，
∴MN的最小值为：2，
故答案为：2；
（3）如图2，
1
设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，
∴∠CDO＝∠OCD＝30°，
∵QN⊥l2，PM⊥x轴，
∴∠CNQ＝∠PMD＝90°，
∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°，
∴点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，
∴当点B越往上，MN越大，
∴当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小，
如图3，
当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，
∴AP⊥BM，
∴AB＝2AP＝2，
∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2，
∴AE＝，
∵∠FOE＝∠FEO＝60°，
∴∠OFE＝60°，
∴∠OAF＝∠AOF＝30°，
∴AF＝OF＝EF＝2，
∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6，
∴BN＝BF•sin∠BFN＝4•sin60°＝2，
BM＝BE•sin∠FEO＝6•sin60°＝3，
∴MN2＝BN2+BM2﹣BN•BM＝（2）2+＝21，
∴MN＝，
如图4，
当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，
∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3，
∴PN＝PF＝，QM＝EQ＝，
∴MN2＝PN2+QM2﹣PN•QM＝，
∴MN＝，
∴．
【点评】本题考查了新定义的阅读理解，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化题意．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
7．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
10．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
11．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
12．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
13．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
14．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
17．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
18．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
19．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
21．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
22．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
23．欧拉公式
（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
（2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
26．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
27．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
28．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
29．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
30．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
31．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
32．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
33．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
34．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
35．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
36．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
37．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．
38．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
39．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
40．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
41．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
42．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
43．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
44．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
45．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
46．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
47．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
48．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
49．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
50．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
51．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
锻炼时间x
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
x≥8
学生人数
10
16
19
5
名称
图形
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
三棱锥

4
4
6
长方体

8
6
12
五棱柱

10
7
15
正八面体

6
8
12
直杆高度
直杆影长
CD的长
第一次
1.0
0.6
15.8
第二次
1.0
0.7
20.1
班级
平均数
中位数
众数
1班
173.875
174
174
2班
174.5
m
n
水平距离x/m
0
1
2
3
4
飞行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
锻炼时间x
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
x≥8
学生人数
10
16
19
5
名称
图形
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
三棱锥

4
4
6
长方体

8
6
12
五棱柱

10
7
15
正八面体

6
8
12
直杆高度
直杆影长
CD的长
第一次
1.0
0.6
15.8
第二次
1.0
0.7
20.1
班级
平均数
中位数
众数
1班
173.875
174
174
2班
174.5
m
n
水平距离x/m
0
1
2
3
4
飞行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9