湖北省咸宁市嘉鱼县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分试题卷（共4页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟．
2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效．
试题卷
一．精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 在中，，，，则这个三角形是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB//DC，AD=BC
6. 对角线长为2的正方形的面积是（ ）
A. 2B. 4C. D.
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
9. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A. 北偏西30°B. 南偏西30°C. 南偏东60°D. 南偏西60°
10. 如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. 1.5D. 2
二．细心填一填（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
11. 化简：=________．
12. 若是正整数，则整数可取的最小值为______．
13. 在中，、、的对边分别为、、，且，若，则的大小是______．
14. 如图，平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为______．
15. 已知，则代数式的值是______．
16. 如图，点在菱形的边上，，，则的大小为______．
三．专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，交的延长线于点E，求证：．
19. 已知：，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）．
20. 阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，且以，，，为顶点的四边形为菱形．
（1）直接写出点的坐标______；
（2）请用无刻度直尺作直线，使直线经过点且平分菱形的面积，保留作图痕迹；
（3）已知点是边上一点，若线段将菱形的面积分为2：3两部分，直接写出点的坐标．
23. 【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系．
小明思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______；
【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形面积．（直接写出结果）

24. 如图，在中，，，，点上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．
（1）若，求长；
（2）当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？
（3）在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．