天津市滨海新区泰达国际2023-2024八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第5页至7页．试卷满分120分.考试时间100分钟.
答卷前．考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在“答题卡”上.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考试结束后，将“答题卡”交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其他答案标号的信息点.
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A选项，原式，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式，故该选项不符合题意；
D选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意得．
解得x≥3，
故选：A．
3. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，10D. 5，12，13
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理逐项判定即可．
【详解】解：A.22+32≠42， 故不能组成直角三角形；
B.32+42=52， 故能组成直角三角形；
C.62+82=102， 故能组成直角三角形；
D.52+122=132， 故能组成直角三角形．
故答案：A.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答关键是判断两个较小的边长平方和是否等于最长边的平方．
4. 由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A：∠B：∠C=3：4 ：5B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. ∠A+∠C＝∠BD.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据所给的数据，再根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可求出答案．
【详解】A．∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C180°=75°，故△ABC不是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
C．∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形；
D．∵AB2﹣BC2=AC2，∴AB2=AC2+BC2，故能△ABC是直角三角形．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．
5. 在①；②；③；④中计算正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐一进行分析即可．
【详解】解：①与不是同类二次根式，不可以合并，故①错误；
②与不是同类二次根式，不可以合并，故②错误；
③，故③错误；
④，故④错误．
综上，计算正确的个数为0个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．
6. 如图，数轴的原点为O，点A在数轴上表示的数是2，，且，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，判断即可．
【详解】∵点A在数轴上表示的数是2，，且，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，数轴上的点与数的对应关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7. 下列命题中错误的是（ ）
A. 两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等平行四边形是矩形
C. 两条对角线垂直的平行四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定，特殊四边形的判定．根据四边形判定定理逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意；
两条对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意；
两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意；
两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故D选项不正确，符合题意；
故选：D．
8. 如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【详解】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10（cm），
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用.
9. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB//DC，AD//BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB//DC，AD=BC
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
10. 如图所示，的顶点坐标是，顶点坐标的是，则顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平行四边形的对边相等，P点的横坐标加上M点的横坐标，等于N点的横坐标，N点和P点的纵坐标相等，从而确定N点的坐标．
【详解】∵点O、P、M的坐标分别是（0，0）、、，
∴N点的纵坐标是3，横坐标坐标为2＋4＝6，
∴B点的坐标为（6，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点．
11. 如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上，此时．若梯子的顶端A沿墙下滑至位置C，那么梯子底端B右移了（ ）

A. 大于B. C. 小于D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论．
【详解】∵中，
，
同理，中，
∵,
∴
故选：A
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12. 如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝3，
∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，
∴EF＝AE＝3，FG＝CG，
设CG＝x，则：
DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x，
∴EG＝EF＋FG＝3＋x，
在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2，
即32＋（6−x）2＝（3＋x）2，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来．
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上，
2．本卷共13题，共84分.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13. 将化为最简根式是______．
【答案】．
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟悉相关性质是解题的关键．
14. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则长方形的面积为______．
【答案】##45平方分米
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据两张正方形纸片面积，求出它们的边长，再求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，
∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别是：，，
∴，
∴长方形的面积为：．
故答案为：．
15. 菱形的两条对角线分别长，，面积为______.
【答案】##平方厘米
【解析】
【分析】根据菱形的面积公式直接计算即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线分别长，，
∴菱形的面积为：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了菱形的面积公式，熟知菱形面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
16. 若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【详解】解：∵b＝+﹣2，
∴
∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
17. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，从而求得结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2．
18. 如图，正方形边长为12，P为边上一个动点，以为直角边作等腰，当点P沿边从B点运动至点C时，线段中点Q所经过的路径长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接相交于点O，连接，过点E作交的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定，根据线段的和差关系和等边对等角确定，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点Q的运动轨迹是，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出的长度．
【详解】解：如下图所示，连接相交于点O，连接，过点E作交的延长线于T，
∵是等腰直角三角形，
．
∴，
∵四边形正方形，，
∴，
∴，
∴，
．
，
∵四边形正方形，
，
，
∴，
，
∴，
∵正方形中，相交于点O，
∴O是的中点，，
∴，
，
∵Q是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点Q在直线上，
∵点P在BC边上移动，
∴点Q的运动轨迹是，
∵正方形的边长是12，且相交于点O，
∴，O是的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点Q的运动轨迹是解题关键．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；
（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．
20. 已知，求下列各式的值
（1）
（2）
【答案】（1）−6（2）24
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式计算；
（2）先计算出a＋b和a−b的值，再把原式分解为（a＋b）（a−b），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵，
∴a•b＝
＝（2）2−（3）2＝12−18＝−6；
（2）∵，
∴a＋b＝4，a−b＝6，
∴a2−b2＝（a＋b）（a−b）＝4×6＝24．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
21. 在中，．
（1）若，求c；
（2）若，，求b，c．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，利用相关知识准确计算是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求出答案；
（2）利用含角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，
【小问2详解】
在中，．，，
∴，
∴，
∴
22. 如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10．（1）求∠ACD的度数；（2）求BC的长.

【答案】（1）90°；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC=6，BD=10，AB=4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，可证得∠BAO=90°，由AB∥CD，可得∠ACD的度数；
（2）在直角△ABC中，利用勾股定理即可求BC的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6，BD=10，AB=4，
∴OA=OC=AC=3，OB=OD=5，
∴OA2+AB2=OB2，
∴△OAB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAO=90°；
（2）在直角△ABC中，BC= ．
故答案是：（1）90°；（2） ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
23. 如图是一个的网格图，每个小正方形的边长都为单位1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，点P是线段上一非格点，请按要求画出图形（过程用虚线，结果为实线）并计算．
（1）画出以为边的正方形；
（2）画一个以为一条对角线的菱形（点F在的左侧），且；
（3）在（1）正方形的边上画一点Q，使得；
（4）在（1）中菱形的边上画一点M，使得经过点M的直线同时将菱形和正方形的面积二等分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）在A、B左侧两个单位，上方一个单位找到格点C、D即可；
（2）求出正方形的面积，利用菱形面积是对角线的乘积的一半，求出另一条对角线长即可；
（3）连接正方形对角线，再过交点作直线，交于Q即可；
（4）过菱形对角线交点和正方形对角线交点作直线即可．
【小问1详解】
解：如图所示，四边形就是所求作正方形；
【小问2详解】
解：由（1）可知正方形的边长为，
面积为，
∵，，
∴,
如图，取两个格点连线，与网格线的交点即为F、G；
菱形为所求；
【小问3详解】
解：连接正方形对角线，再过交点作直线，交于Q，
此时，；
【小问4详解】
解：过菱形对角线交点和正方形对角线交点作直线，与交点就是M；
【点睛】本题考查了网格作图，解题关键是熟练运用正方形、菱形、全等三角形的性质进行画图．
24. 如图，在四边形中，，，，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）过点作，交延长线于点，通过证明得到，，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
则，，
∵，即
∴为等腰直角三角形，；
【小问2详解】
解：过点作，交延长线于点，如下图：
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
25. 如图，已知中，，，．

（1）若、是边上的两个动点，其中点从沿→方向运动，速度为每秒，点从沿→方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设出发时间为秒．①当秒时，求的长；②从出发几秒钟后，是等腰三角形？
（2）若在边上沿→→方向以每秒的速度运动，则当点在边上运动时，求成为等腰三角形时运动的时间．
【答案】（1）①；②；
（2）、、
【解析】
【分析】（1）①根据勾股定理即可求解；②是等腰三角形，，可知，用表示出、的长，列出等式即可解答；
（2）分三种情况讨论∶当时；当时；当时；列出方程解答即可．
【小问1详解】
解：①∵当时，，，
∴；
②∵是等腰三角形，，
∴，，，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了动点问题，熟悉等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键．