11.4角度的模型总结（讲+练）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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11.4角度的模型总结模型1:8字模型题型练习：1．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　）A．180° B．90° C．270° D．240°【分析】连接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和．【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用三角形的内角和定理进行推理是解答此题的关键．2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°．【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知：∠DNC+∠D+∠C＝180°，由三角形外角性质可知：∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，根据三个等式即可求解．【解答】解：如图，设线段BD，BE分别与线段AC交于点N，M．∵∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，∠DNC+∠D+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案为：180．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记三角形的外角定理及内角和是解题的关键．3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°．【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，由此不难证明结论．【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案为：180．【点评】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．4．“8字”的性质及应用：（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）图②中共有多少个“8字”？（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A+∠C）．【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可；（2）根据题中给出的“8字”的概念解答即可；（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）图②中有：ABCD、BECD、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和对顶角相等的综合运用，掌握三角形内角和等于180°和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACD的度数．【分析】先根据∠DEB＝90°，求得∠B的度数，再根据三角形外角性质，求得∠ACD的度数．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠D＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝25°+45°＝70°．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．模型2：飞镖模型 【证明】题型练习：1．如图所示，∠B＝20°，∠D＝40°，∠BCD＝2∠A，求∠A的度数．【分析】连接AC并延长，根据三角形外角的性质可得∠B+∠BAE＝∠BCE，∠D+∠DAC＝∠DCE，再把两式相加即可得出结论．【解答】解：连接AC并延长，∵∠BCE是△ABC的外角，∠DCE是△ACD的外角，∴∠B+∠BAE＝∠BCE①，∠D+∠DAC＝∠DCE②，①+②得，∠B+∠C+∠BAD＝∠BCD，∵∠B＝20°，∠D＝40°，∠BCD＝2∠A，∴20°+40°＝∠A，即∠A＝60°．【点评】本题考查是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．2．已知：如图，∠BGF＝140°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数？【分析】根据三角形内角和定理和三角形的性质进行转换即可得出答案．【解答】解：根据三角形中，一个内角的补角等于其余两个内角的和，∴四边形CGED中：∠CGE＝∠C+∠E+∠D，四边形ABGF中：∠BGF＝∠A+∠B+∠F，∴∠CGE＝∠BGF＝140°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝280°【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和定理解答．3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延长线于点F．求证：FB＝DB．【分析】要证明FB＝DB，转化证明△BCD≌△BEF便可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠F＝∠ABD，∴∠CDB＝∠F，在△BCD和△BEF中，，∴△BCD≌△BEF（AAS），∴FB＝DB．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．关键是将线段相等转化为证明三角形全等．4．一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【分析】延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BDC，然后即可判断．【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A＝90°，∠C＝21°，∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，∵∠B＝32°，∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°．又∵∠BDC＝148°，∴这个零件不合格．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．5．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　36　°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数　　（用含α和β的式子表示）；③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．【分析】（1）结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．连接AD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可．（2）①利用（1）中结论计算即可．②图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，构建方程组解决问题即可．③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°，构建方程组解决问题即可．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：连接AD并延长到点E．∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，∴∠ABX+∠ACX＝36°．故答案为36．②如图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，则有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，∴∠DCE＝．故答案为．③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°．由题意可得，解得∠A＝55°．【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．6．如图：（1）求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠B、∠C这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．【分析】根据三角形内角和定理及内角和外角的关系解答．【解答】（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠B，∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC＝∠C+∠DEC＝∠C+∠A+∠B；（2）猜想：∠BDC+∠C+∠A+∠B＝360°．证明：∠BDC+∠C+∠A+∠B＝∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1＝（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）＝180°+180°＝360°．【点评】根据三角形内角和定理，将四边形转化为两个三角形，可根据三角形内角和定理和推论解答．模型3：A字模型【结论】如图所示，△DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.题型练习：1.我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？Ⅰ．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？Ⅱ．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝　 　；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A）在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A；即∠P＝90°﹣∠A；故答案为：50°，∠P＝90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．2．如图，已知∠CBE+∠BCD＝256°，求∠A的度数．【分析】先根据三角形外角的性质把∠CBE+∠BCD＝256°转化为三角形的内角和的形式，再根据三角形的内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE＝∠1+∠A，∵∠BCD是△ABC的外角，∴∠BCD＝∠2+∠A，∵∠CBE+∠BCD＝256°，∴∠1+2∠A+∠2＝256°，∵∠1+∠2+∠A＝180°，∴∠A+180°＝256°，∴∠A＝256°﹣180°＝76°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理与外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）三角形的内角和为180°；（2）三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．3．如图所示，已知∠CBE+∠BCD＝236°，求∠A的度数．【分析】先根据三角形外角的性质把∠CBE+∠BCD＝236°转化为三角形的内角和的形式，再根据三角形的内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE＝∠2+∠A，∵∠BCD是△ABC的外角，∴∠BCD＝∠2+∠A，∵∠CBE+∠BCD＝236°，∴∠1+2∠A+∠2＝236°，∵∠1+∠2+∠A＝180°，∴∠A+180°＝236°，∴∠A＝236°﹣180°＝56°．【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理与外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）三角形的内角和为180°；（2）三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．4.探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 　A.90°B.135°C.270° D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 　（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．5.．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　 　．（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，两式相加可得结论；（2）利用（1）的结论：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．故答案为：＝．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案为：45°；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案为：∠P＝90°﹣∠A，（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．【点评】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．模型4：老鹰抓小鸡模型如图，延长任意一个四边形的邻边后，就构成老鹰抓小鸡模型.结论∶如图所示，∠A＋∠BFC=∠DBF＋∠FCE.题型练习：1．如图，把△ABC纸片任意折叠，使点A落在纸外，设折痕为DE，∠A、∠1、∠2之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由．【分析】延长BE，CD交于点A′，根据三角形的外角等于不相邻的两个外角的和即可求解．【解答】解：2∠A＝∠2﹣∠1，理由：延长BE，CD交于点A′．在△A′DF中，根据外角的性质∠2＝∠EFD+∠A′，∠EFD＝∠1+∠A，∴∠2＝∠1+∠A+∠A′＝2∠A+∠1，又∵∠A＝∠A′∴2∠A＝∠2﹣∠1．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的外角等于不相邻两个内角的和，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　 　（只填序号），并说明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【分析】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．【点评】本题主要三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．3．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　 　．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）根据三角形外角性质得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，代入即可求出答案；（3）根据三角形外角性质得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，推出∠2＝∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．【解答】解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（2）2∠A＝∠2，如图∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，故答案为：2∠A＝∠2；（3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A＝∠2﹣∠1．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．4.[探究]如图1，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的内部点A′处．试判断∠1、∠2与A的数量关系．并证明．[应用]如图2，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的内部．（1）若∠B＝95°，∠C＝25°，则∠1+∠2＝　 　；（2）若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝　 　；（3）若AE∥BD，∠B+∠C＝130°，则∠2＝　 　．[变式]如图3，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的外部点A′处，试判断∠1、∠2与∠A的数量关系，并证明．【分析】[探究]运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；[应用]（1）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；（2）根据[探究]的结论代入数据即可得到结果；（3）根据平行线的性质得到∠1＝∠A′，由三角形的内角和得到∠A的度数，然后根据[探究]的结论即可求得结果；[变式]运用三角形的外角性质即可解决问题．【解答】解：[探究]如图1，∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA＝360°，∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；[应用]（1）如图1，延长BD，CE交于A，∵∠B＝95°，∠C＝25°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°由[探究]得，2∠A＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝2∠A＝120°；故答案为：120°；（2）∵∠1+∠2＝80°，∴∠A＝（∠1+∠2）＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝140°；故答案为：140°；（3）∵A′E∥BD，∴∠1＝∠A′＝∠A，∵∠B+∠C＝130°，∴∠A＝50°，∠1＝50°，∵∠1+∠2＝2∠A＝100°，∴∠2＝50°，故答案为：50°2∠A＝∠1﹣∠2．证明：∵∠1＝∠EFA+∠A，∠EFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A++∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，外角性质；解题的关键是结合图形灵活运用有关定理来解题．5．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）根据三角形外角性质得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，推出∠2＝∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．【解答】解：（1）2∠A′＝∠1+∠2，理由沿DE折叠使点A落在A′处的位置，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A′）＝2∠A′；（2）2∠A′＝∠2﹣∠1，理由：∵沿DE折叠使点A落在A′处的位置，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A′＝∠2﹣∠1．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．模型5：双角平分线模型题型练习：1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．（1）若∠ACB＝50°，∠ABC＝70°，则∠BOC＝　 °（2）若∠A＝40°，则∠BOC＝　 　°（3）若∠A＝x°，试猜想∠BOC＝　 　°，并证明你的猜想的正确性．【分析】（1）根据角平分线的定义，即可得到∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到∠BOC的度数；（2）根据角平分线的定义，即可得到∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到∠BOC的度数；（3）根据角平分线的定义，即可得到∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到∠BOC的表达式．【解答】解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（70°+50°）＝120°，故答案为：120；（2）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣40°）＝110°，故答案为：110；（3）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+x°，故答案为：（90+x）．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．2．（1）如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，且∠A＝40°，求∠BOC的度数；（2）如图②，△A′B′C′的两个外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分线交于点O′，且∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；（3）由（1）（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，则∠BOC与∠B′O′C′之间是否还具有这样的关系？为什么？【分析】（1）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．（2）先根据外角平分线的性质求出∠B′C′O′、∠O′B′C′与∠A′的关系，再由三角形内角和定理解答即可；（3）根据（1）（2）中所得的∠BOC和∠B′O′C′与∠A和∠A′的关系可得答案．【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．当∠A＝40°时，∠BOC＝90°+∠A＝110°．（2）∵B′O′、C′O′是△ABC的两个外角的平分线，∴∠B′C′O′＝（∠A′+∠A′B′C′），∠O′B′C′＝（∠A′+∠A′C′B′），∵∠B′C′A′+∠A′B′C′＝180°﹣∠A′，∴∠B′O′C′＝180°﹣∠O′B′C′﹣∠O′C′B′，＝180°﹣（∠A′+∠A′B′C′+∠A′+∠A′C′B′），＝180°﹣（180°+∠A′），＝90°﹣∠A′．∵∠A′＝40°，∴∠B′O′C′＝90°﹣20°＝70°；（3）∠BOC﹣∠B′O′C′＝∠A＝40°，∠BOC﹣∠B′O′C′＝∠A＝n°，∵∠BOC＝90°+∠A，∠B′O′C′＝90°﹣∠A′，∴∠BOC﹣∠B′O′C′＝∠A＝n°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形内角与外角的关系，熟知三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．3．（1）图①所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，试探究∠BOC与∠A的等量关系．（2）图②所示，将∠ABC的一边BC延长至D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点O，试探究∠BOC与∠A的等量关系．【分析】（1）先根据BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线得出∠1+∠2＝（180°﹣∠A），再根据∠1+∠2+∠BOC＝180°即可得出结论；（2）根据角平分线的定义得∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，再根据三角形外角性质得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠OBC+∠BOC，所以（∠A+∠ABC）＝∠OBC+∠BOC＝∠ABC+∠BOC，然后整理可得∠BOC＝∠A．【解答】解：（1）∠BOC＝90°+∠A．∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）∵△ABC的内角平分线BO与外角平分线CO交于O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠OBC+∠BOC，∴（∠A+∠ABC）＝∠OBC+∠BOC＝∠ABC+∠BOC，∴∠BOC＝∠A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°，也考查了三角形外角性质．4．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　．（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；（2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案为：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，且∠BAC＝60°，∠C＝70°．求∠DAC和∠BOE的度数．【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°根据三角形的内角和即可得到结论；根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵∠BAC＝60°∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝25°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，∴∠BOE＝∠BAE+∠ABF＝55°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．关键是利用角平分线的性质解出∠ABF、∠BAE．6．在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，则2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，则2∠BOC＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC＝90°+∠A．（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到∠BOC＝90°﹣∠A；（3）根据角平分线的定义得∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，即可得到∠BOC＝∠A；（4）利用以上结论直接得出答案即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠BOC＝180°+∠A，∴∠BOC＝90°+∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝110°；（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝70°．（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，∴2∠BOC＝∠A，即∠BOC＝∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝20°；（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，所以∠EBO＝∠OBC＝，∠FCO＝∠OCB＝，又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；（2）∵∠BOC＝130°，∴∠1+∠2＝50°，∵∠1：∠2＝3：2，∴，，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识的综合运用．8．已知△ABC（1）①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，探究∠P与∠A之间数量关系，并说明理由；②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是　 　；③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是　 　．（2）运用所得到的结论，解决下面的问题：如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，连接AO，若∠BOC＝130°，则∠BAC＝　 　°，∠BAO＝　 　°．【分析】（1）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明．（2）求出∠OBC+∠OCB，根据角平分线性质求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案．【解答】解：（1）①如图1：∠P＝90°+∠A；理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB．∵∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP，∴∠P＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．②如图2：∠P＝∠A；③如图3：∠P＝90°﹣∠A；故答案为：∠P＝∠A，∠P＝90°﹣∠A；（2）∵BO、CO分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，∴OA是∠BAC的角平分线，∴∠BAO＝∠BAC，∵∠BOC＝130°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣130°＝50°，∵BO、CO分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝80°，∴∠BAO＝∠BAC＝40°，故答案为：80，40．【点评】本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．9．已知△ABC中，∠A＝x°（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用含x的代数式表示∠BOC，写出推理过程．（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用含x的代数式表示∠BO1C，写出推理过程．（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用含n，x的代数式表示∠BO1C，不需要推理过程，直接写出结果．【分析】（1）由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，易得：2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，即可求得∠BOC的值；（2）由∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，即可得∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+∠O1BC+∠O1CB＝180°，∠BO1C+∠O1BC+∠O1CB＝180°，即可求得∠BO1C的值；（3）观察（1）（2），即可得规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则∠BO1C＝（+x）°【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∵∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A，∵∠A＝x°，∴∠BOC＝（90+x）°；（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+∠O1BC+∠O1CB＝180°，∴∠O1BC+∠O1CB＝（180°﹣∠A），∵∠BOC＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝60°+∠A，∵∠A＝x°，∴∠BOC＝（60+x）°；（3）由（1）（2）可得规律为：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝（+x）°【点评】此题考查了角的等分线的性质以及三角形内角和定理．注意找的规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝（ +x）°，是解此题的关键．