14.1 幂的运算（讲+练）【10大题型】-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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14.1 幂的运算一、单选题1．下面计算正确的是（　　） A．a+a=a2 B．3a2−2a2=1 C．(3a)2=6a2 D．a⋅a3=a4【答案】D【解析】【解答】解：A、 a+a=2a ，故答案为：A错误； B、 3a2−2a2=a2 ，故答案为：B错误；C、 (3a)2=9a2 ，故答案为：C错误；D、 a⋅a3=a4 ，故答案为：D正确.故答案为：D.【分析】（1）根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可得原式=2a；（2）根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可得原式=a2；（3）根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可得原式=9a2；（4）由同底数幂相乘底数不变指数相加可得原式=a4.2．下列运算正确的是（　　）A．a2·a3=a6 B．(a3)2=a6 C．(3x)2=3x2 D．2a+3b=5ab【答案】B【解析】【解答】解：A选项：根据同底数幂相乘，a2⋅a3=a5，故该选项错误； B选项：根据幂的乘方，(a3)2=a6，故该选项正确；C选项：根据积的乘方可得，(3x)2=9x2，故该选项错误；D选项：因为2a与3b不是同类项，不能合并，故该选项错误.故答案为：B． 【分析】A、根据同底数幂乘法，底数不变，指数相加，进行计算，从而即可判断； B、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算再判断即可； C、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即可； D、由于2a与3b不是同类项，不能合并，据此判断即可.3．已知10x=m，10y=n，则102x+3y等于(　　) A．2m+3n B．m2+n3 C．6mn D．m2n3【答案】D【解析】【解答】解： 102x+3y = 102x103y= （10x）2（10y）3=m2n3 ，故答案为：D.【分析】根据同底数幂的乘法法则将原式化为102x103y，然后再根据幂的乘方法则变形，最后代值计算即可.4．下列计算正确的是（　　） A．2y²-6y²=-4 B．x³ • x³=x9C．（-x³）²=x6 D．x6÷x³=x²【答案】C【解析】【解答】解：A.合并同类项得：2y²-6y²=-4y²，故A错误；B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以x³ • x³=x6，故B错误；D.同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以x6÷x³=x³，故D错误.故选C.【分析】同底数幂的指数运算当中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。5．下列运算正确的是（　　）A．a2·a3=a6 B．(a2)3=a5 C．（-2a2b）3=-8a6b3 D．(2a+1)2=4a2+2a+1【答案】C【解析】【解答】解：A. a2·a3=a5，故A错误；B. (a2)3=a6，故B正确；C.（-2a2b）3=-8a6b3，故C正确；D. (2a+1)2=4a2+4a+1，故D错误；故选：C．【分析】A是同底数幂的乘法，根据“底数不变，指数相加”即可解答；B是幂的乘方，根据“底数不变，括号内指数与括号外指数相乘”即可解答；C是幂的乘方与积的乘方的结合，括号外的指数要与括号内的系数和字母的指数分别相乘；D是完全平方公式的运用，注意一次项是2·2a·1.6．若a＞0且ax=2，ay=3，则ax+y的值为（　　）A．6 B．5 C．-1 D．32【答案】A【解析】【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】∵a＞0且ax=2，ay=3，∴ax+y=ax•ay=6，故选A【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题7．（713）2017×（137）2016=　 　【答案】713【解析】【解答】 （713）2017×（137）2016= [（713）2016×（137）2016 ] ×713= [（713×137）2016×713= 713故答案为： 713【分析】逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方可得原式=7132016×1372016×713=713×1372016×713=713.8．若a+4b﹣4=0，则2a•16b=　 　．【答案】16【解析】【解答】解：∵a+4b﹣4=0，∴a+4b=4，∴2a•16b=2a•（24）b=2a•24b=2a+4b=24=16，故答案为：16．【分析】可将16b化为24b，根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，即可得到2a+4b，将a+4b的数值代入即可。9．已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　 　. 【答案】18【解析】【解答】4m×32n，=22m×25n，=22m+5n，∵2m+5n+3=0，∴2m+5n=-3，∴4m×32n=2-3= 18 .故答案为 18 .【分析】都化成以2为底数的幂的运算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后求出2m+5n=-3，再根据负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数进行计算即可得解.10．已知mx=2，my=4，则mx+y=　 　【答案】8【解析】【解答】解：∵mx=2，my=4，∴mx+y=mx•my=8，故答案为：8．【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答．三、计算题11．计算 ①（a2）3•（﹣a3）2•（﹣a2）3②（y2）3+（y3）2﹣y•y5③（﹣a2）3+（﹣a3）2﹣a2a4④[（a+b）2]3•[（a+b）2]4⑤﹣a6•a5•a+5（a3）4﹣3（a3）3•a2•a．【答案】解：①原式=a6•a6•（﹣a6） =﹣a18；②原式=y6+y6﹣y6=y6；③原式=﹣a6+a6﹣a6=﹣a6；④原式=（a+b）6•（a+b）8=（a+b）14；⑤原式=﹣a12+5a12﹣3a12=a12．【解析】【分析】①先根据幂的乘方得到原式=a6•a6•（﹣a6），然后根据同底数幂的乘法法则运算；②先根据幂的乘方得到原式=y6+y6﹣y6，然后合并同类项即可；③先根据幂的乘方得到原式=﹣a6+a6﹣a6，然后合并同类项即可；④先根据幂的乘方得到原式=（a+b）6•（a+b）8，然后根据同底数幂的乘法法则运算；⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式=﹣a12+5a12﹣3a12，然后合并同类项即可．12．规定运算：a*b=10a×10b，例如：2*1=102•101=103，计算： （1）5*4； （2）（n﹣2）*（5+n）． 【答案】（1）解：5*4=105×104=109（2）解：（n﹣2）*（5+n）=10n﹣2×105+n=102n+3【解析】【分析】（1）先理解“*”的运算法则，然后再进行运算即可．；（2）按照运算法则进行列式运算即可． 四、解答题13．已知ax=5，ax+y=30，求ax+ay的值．【答案】解：∵ax=5，ax+y=30，∴ay=ax+y﹣x=30÷5=6，∴ax+ay=5+6=11，即ax+ay的值是11．【解析】【分析】首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求出ay的值是多少；然后把ax、ay的值相加，求出ax+ay的值是多少即可．14．已知n是正整数，且 x3n=2 ，求 (3x3n)2+(−2x2n)3 的值.【答案】解：原式=32×(x3n)2+(−2)3×(x2n)3=32×(x3n)2+(−2)3×(x3n)2=32×(x3n)2+(−2)3×(x3n)2∵x3n=2∴32×(x3n)2+(−2)3×(x3n)2=9×4+[-8×4]=4【解析】【分析】根据积的乘方等于各因式乘方的积，将式子进行化简，代入求出答案即可。15．阅读理解： 乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）（1）20172×20175=　 　； （2）m2×m5=　 　； （3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017． 【答案】（1）20177（2）m7（3）解：（﹣2）2016×（﹣2）2017=（﹣2）2016+2017=（﹣2）4033=﹣24033【解析】【解答】解：（1）20172×20175=20177， 故答案为：20177；（ 2）m2×m5=m7，故答案为：m7；【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题．同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数题型1：同底数幂的乘法法则1.下列计算正确的是（　　）A．a3·a2=a B．a3·a2=a5 C．a3·a2=a6 D．a3·a2=a9【答案】B【解析】【解答】解：A、a3·a2=a5，不符合题意；B、a3·a2=a5，符合题意；C、a3·a2=a5，不符合题意；D、a3·a2=a5，不符合题意；故答案为：B．【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。【变式1-1】计算：（1）-b2×（-b）2×（-b3）（2）（2-y）3×（y-2）2×（y-2）5【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案．【解答】解：（1）-b2×（-b）2×（-b3）=b2×b2×b3=b7；（2）（2-y）3×（y-2）2×（y-2）5=-（y-2）3（y-2）7=-（y-2）10．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-2】（1）（- 13）×（- 13）3（2）（x+y）3（x+y）4；（3）x3•x9-x•x3•x8；（4）（-a3）•（-a）2-（-a）4•a.【分析】（1）（2）根据同底数幂的运算法则计算即可；（3）根据同底数幂的运算法则计算，再合并同类项即可；（4）先根据积的乘方与幂的乘方计算，再根据同底数幂的运算法则计算，最后合并同类项即可．【解答】解：（1）（- 13）×（- 13）3=（- 13）1+3=（- 13）4=181（2）（x+y）3（x+y）4=（x+y）3+4=（x+y）7；（3）x3•x9-x•x3•x8=x12-x12=0；（4）（-a3）•（-a）2-（-a）4•a=-a3•a2-a4•a=-a5-a5=-2a5．【点评】本题侧重考查同底数幂的乘法、合并同类项，掌握其法则是解决此题的关键．【变式1-3】若a3•am•a2m+1＝a25，求m的值． 【答案】解：∵a3•am•a2m+1=a3+m+2m+1=a25∴3+m+2m+1=25，解得m=7.【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算，再根据指数相等列式求解即可.题型2：逆用同底数幂的乘法法则2.已知am=3，an=6，ak=4，求am+n+k的值．【答案】am+n+k=am•an•ak=3×6×4=72【解析】【分析】通过同底数幂相乘，底数相同，指数相加，求解。【变式2-1】已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值．【答案】解：∵2a＝5，2b＝1， ∴2a+b+3＝2a×2b×23＝5×1×8＝40．【解析】【分析】 根据同底数幂乘法的逆用可得2a+b+3＝2a×2b×23 ，然后代入计算即可.【变式2-2】已知xm=5，xn=7，求x2m+n的值．【答案】解：∵xm=5，xn=7，∴x2m+n=xm•xm•xn=5×5×7=175．【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答．幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.注意：（1）公式的推广： (，均为正整数)逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.题型3：幂的乘方法则3.(−a3)2 的值是（　　） A．−a5 B．a6 C．a5 D．−a6【答案】B【解析】【解答】解： (−a3)2 = a6 ， 故答案为：B.【分析】利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得答案.【变式3-1】计算：（1）（-a2）3•（-a3）2【答案】-a12．【分析】利用幂的乘方的性质进行计算，再算乘法即可．【解答】解：原式=-a6•a6=-a12．【点评】此题主要考查了幂的乘法以及同底数幂的乘法，关键是掌握计算法则．（2）m7•m5+（-m3）4-（-2m4）3．【答案】见试题解答内容【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可．【解答】解：原式=m12+m12-（-8m12）=m12+m12+8m12=10m12．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式3-2】计算：（1）（-t4）3+（-t2）6；（2）（m4）2+（m3）2-m（m2）2•m3．【分析】（1）首先计算幂的乘方，再算加减即可；（2）首先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再算加减即可．【解答】解：（1）原式=-t12+t12=0；（2）原式=m8+m6-m8=m6．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．题型4：逆用幂的乘方法则4.已知2x+5y-3=0．求4x·32y的值。【答案】解：∵2x+5y-3=0，∴2x+5y=3，∴原式=(22)x·(25)y=22x·25y =22x+5y= 23=8．【解析】【分析】利用幂的乘方化简代数式，求出答案即可。【变式4-1】已知 ax=2，ay=3 ，求 a2x+3y 的值 【答案】解： ∵ax=2，ay=3 ， ∴a2x+3y=(ax)2×(ay)3=22×33=108 ．【解析】【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算可将a2x+3y化简为(ax)2×(ay)3，再将ax=2，ay=3代入计算即可。【变式4-2】已知2m=a，32n=b，m，n为正整数，求23m+10n的值（用含a，b的式子表示）.【答案】解： ∵2m=a，32n=b，∴(25)n=b，∴25n=b，∴23m+10n=23m·210n=(2m)3⋅(25n)2=a3b2.【解析】【分析】根据幂的乘方法则得出25n=b，再利用同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用把待求的式子化为（2m）3·（25n）2的形式，然后整体代入，即可得出答案.积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.注意：（1）公式的推广： (为正整数).逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：题型5：积的乘方法则5.计算：(−23x2y)3=（　　）A．−2x6y3 B．827x6y3 C．−827x5y3 D．−827x6y3【答案】D【解析】【解答】解：∵(−23x2y)3=(−23)3(x2)3(y)3=−827x6y3，故答案为：D．【分析】利用积的乘方和幂的乘方公式求解即可。【变式5-1】计算：（1）(−pq)3（2）−(−2a2b)4【答案】（1）解：(−pq)3=−p3q3；（2）解：−(−2a2b)4=−(−2)4(a2)4b4=−16a8b4．【解析】【分析】（1）根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可；（2）根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算即可.【变式5-2】计算：（1）a2•a4-（2a3）2+3（-a2）3．【答案】-6a6．【分析】根据幂的乘方与同底数幂乘法法则进行计算．【解答】解：原式=a6-4a6+（-3a6）=-6a6．（2）（-2x2）3+（-3x3）2+（-x）6．【解答】解：原式=-8x6+9x6+x6=2x6．【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．（ab）n=anbn．题型6：逆用积的乘方法则6.已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值． 【答案】解：原式=4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14【解析】【分析】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【变式6-1】用简便方法计算下列各题（1）（ 45 ）2015×（﹣1.25）2016（2）（3 18 ）12×（ 825 ）11×（﹣2）3． 解： (45)2015×(−1.25)2016= (45)2015×(−54)2015×(−54)=[ (−54) ]2015×（﹣ 54 ）=﹣1×（﹣ 54 ）= 54 ；（2）解：原式= 258 ×（ 258 ）11×（ 825 ）11×（﹣8） =﹣25× (258×825)11=﹣25【解析】【分析】(1)将-1.25化为分数-54，根据积的乘方等于各因式乘方的积，即可进行计算。(2)根据积的乘方等于各因式乘方的积，可以将前两项进行化简计算，从而继续计算式子值。【变式6-2】计算：（1）y4⋅y3⋅y2⋅y（2）(－x2y3)4（3）(－8)2017×(－0.125)2017（4）(－xy2)3【答案】（1）解： y4⋅y3⋅y2⋅y = y4+3+2+1 =y10（2）解：(－x2y3)4= x2×4y3×4= x8y12（3）解：(－8)2017×(－0.125)2017 =[(－8)×(－0.125)] 2017=12017=1 （4）解：(－xy2)3= -x3y2×3= -x3y6【解析】【分析】（1）利用同底幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可.（2）根据积的乘方及幂的乘方进行计算.（3）利用积的乘方的逆用进行变形，然后先计算括号里，再计算乘方即可.（4）根据积的乘方及幂的乘方进行计算.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减用式子表示：题型7：同底数幂的除法法则7.计算a8÷a4的结果是（　　） A．a2 B．a4 C．a12 D．a32【答案】B【解析】【解答】解：a8÷a4＝a8﹣4＝a4.故答案为：B.【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相加，依此解答即可.【变式7-1】计算：（1）a2•a3÷a4．【分析】根据同底数幂的乘除法法则计算即可．【解答】解：a2•a3÷a4=a2+3-4=a.【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键．（2）（-y2）4÷y4•（-y）3．【分析】根据整式的乘除运算即可求出答案．【解答】解：原式=y8÷y4•（-y3）=y4•（-y3）=-y7．【点评】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算，本题属于基础题型．【变式7-2】计算：（1）（x-y）9÷（y-x）6÷（x-y）【解答】解：原式=（x-y）9÷（x-y）6÷（x-y）=（x-y）2．（2）（-xy）13÷（-xy）8；解：原式=（-xy）13÷（-xy）8=（-xy）5=-x5y5；（3）a2m+4÷am-2；解：原式=a2m+4÷am-2=a2m+4-（m-2）=am+6；（4）（x-2y）3÷（2y-x）2．解：原式=（x-2y）3÷（2y-x）2=-（x-2y）3÷（x-2y）2=-（x-2y）=-x+2y.【点评】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则以及幂的乘方与积的乘方法则．题型8：逆用同底数幂的除法法则8.已知 am=4，an=8 ，求 a3m−2n 的值． 【答案】解：∵am=4，an=8 ∴a3m=（am）3=43=64，a2n=（an）2=82=64，∴a3m−2n=64÷64=1【解析】【分析】根据 am=4，an=8 ，代入即可得出答案【变式8-1】已知2m=3，2n=5，求24m﹣2n的值．【答案】解：∵2m=3，2n=5，∴原式=（2m）4÷（2n）2=34÷52=8125．【解析】【分析】先把原式化为（2m）4÷（2n）2，再把2m=3，2n=5代入进行计算即可．【变式8-2】已知5x=36，5y=2，求5x﹣2y的值． 【答案】解：（5y）2=52y=4， 5x﹣2y=5x÷52y=36÷4=9【解析】【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．零指数幂：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0=1，所以，规定a0=1(a≠0).语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1.题型9：0指数幂9.若（2x-1）0有意义，则x的取值范围是（　　）A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠12 D．x＝12【答案】C【解析】【解答】解：（2x-1）0有意义，则2x−1≠0，即x≠12．故答案为：C．【分析】根据0指数幂有意义的条件可得2x−1≠0，再求解即可。【变式9-1】计算：（-1）2023+（-2022）0+（-5）2022×（-15）2021【分析】先计算乘方、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=-1+1+[-5×（-15）]2021×（-5）=12021×（-5）=1×（-5）=-5．【点评】此题考查的是零指数幂、有理数的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．计算：（-2）2+4×（-1）2021-|-23|+（π-5）0．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4+4×（-1）-8+1=4-4-8+1=-7．【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握定义是解题关键．【变式9-2】计算：4+3÷（-1）3-（-2）2×50．【分析】直接利用零指数幂的性质结合有理数的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=4-3-4×1=4-3-4=-3．（-2）2-12020+（π-3.14）0．【答案】4．【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的混合运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式=4-1+1=4．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．题型10：幂的运算及应用10.若a= 355 ,b= 444 ,c= 533 ，比较a,b,c的大小．（用“23 ， 55>45在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如： 2710 与 325 ，解： 2710=(33)10=330 ，∵30>25 ，∴330>325（1）[类比解答]比较 254 ， 1253 的大小． （2）[拓展拔高]比较 3555 ， 4444 ， 5333 的大小． 【答案】（1）解： 254=(52)4=58 ， 1253=(53)3=59 ， ∵8