2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点1空间向量的线性运算

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2．(多选题)在四面体P－ABC中，以下说法正确的有( ABC )
A．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))
B．若Q为△ABC的重心，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))
C．若四面体的各棱长都相等，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，H分别为PA，BC的中点，则|eq \(MH,\s\up6(→))|＝1
[解析] 由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))
＝3(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，A正确；
连接AQ并延长交BC于H，
则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AH,\s\up6(→))
＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PH,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，B正确；
因为四面体P－ABC各棱长都相等，则|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，∠PBA＝∠PBC＝eq \f(π,3)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
＝|eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＋|eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|cseq \f(2π,3)＝0，C正确；
若四面体P－ABC的棱长都为2，
则eq \(PA,\s\up6(→))、eq \(PB,\s\up6(→))、eq \(PC,\s\up6(→))两两夹角都为eq \f(π,3)，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝2.
又eq \(MH,\s\up6(→))＝eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))
∴|eq \(MH,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))2
＝eq \f(1,4)(|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(PB,\s\up6(→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(→))|2＋2eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)(4＋4＋4＋4－4－4)＝2.
∴|eq \(MH,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，D错误．故选ABC.
名师点拨：用已知向量表示某一向量的方法
用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．
【变式训练】
如图，空间四边形OABC中，M、N分别为OA、CB的中点，MG＝2GN，用向量eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))、eq \(OC,\s\up6(→))表示向量eq \(OG,\s\up6(→))为( A )
A.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))
[解析] eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OM,\s\up6(→))，
又M，N分别为OA、CB的中点，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，
eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
故选A.