2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点2空间向量共线共面定理的应用

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点2空间向量共线共面定理的应用，共2页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))是否与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
[解析] (1)∵eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))
＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
∴由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，
MN在平面ABB1A1内，当0MN不在平面ABB1A1内，
又由(1)知eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AA1,\s\up6(→))共面，
所以MN∥平面ABB1A1.
2．已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(5PA,\s\up6(→))－eq \(4PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，则λ＝( D )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
[解析] eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(5PA,\s\up6(→))－eq \(4PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))
⇒eq \(PD,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(5PA,\s\up6(→))－eq \(4PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(5PA,\s\up6(→))－eq \(3PB,\s\up6(→))＋λeq \(PC,\s\up6(→))，
由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线
可得5－3＋λ＝1，解之得λ＝－1.故选D.
名师点拨：
1．证明空间三点P、A、B共线的方法
(1)eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．
(1)eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))(或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→)))．
【变式训练】
已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋teq \(OC,\s\up6(→))，若P、A、B、C四点共面，则实数t的值是( C )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(1,8)
C．eq \f(1,8) D．－eq \f(3,4)
[解析] 因为P、A、B、C四点共面，则存在m、n∈R，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝m(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋n(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋teq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m－n＝\f(3,4)，,m＝\f(1,8)，,n＝t，))解得t＝eq \f(1,8).故选C.