2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点3空间向量的数量积及其应用

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点3空间向量的数量积及其应用，共3页。
(2)求BD1与AC所成角的余弦值．
[解析] (1)记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，
∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC1的长为eq \r(6).
(2)eq \(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
∴|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
∴AC与BD1夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
2．(2024·河南创新发展联盟联考)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝2，AB＝CD＝1，E，F分别为BC，AD的中点，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝( B )
A.eq \f(1,2) B．1
C．eq \f(3,2) D．2
[解析] 解法一：设H为BD的中点，连接FH，EH.
由题意知eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))·BA＝0，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(CD,\s\up6(→))＋BA)＝eq \f(1,2)|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)|eq \(BA,\s\up6(→))|2＝1.
解法二：如图建立空间直角坐标系，则由题意易知B(0,0,0)，A(0,0,1)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，从而可知Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(CA,\s\up6(→))＝(－1，－2,1)．∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＋0×(－2)＋eq \f(1,2)×1＝1.选B.
3．(2024·山东学情质检)已知直线l1的一个方向向量a＝(1,2，x)，直线l2的一个方向向量b＝(eq \r(5)，y,1)，若|a|＝5，且l1⊥l2，则x＋y＝( A )
A.eq \f(\r(5),2)或－eq \f(3\r(5),2) B．－eq \f(\r(5),2)或eq \f(3\r(5),2)
C.eq \f(－\r(5),2) D．eq \f(\r(5),2)
[解析] 因为a＝(1,2，x)，|a|＝5，所以1＋4＋x2＝25，解得x＝±2eq \r(5).当x＝2eq \r(5)时，a＝(1,2,2eq \r(5))，因为l1⊥l2，所以a·b＝eq \r(5)＋2y＋2eq \r(5)＝0，解得y＝－eq \f(3,2)eq \r(5)，x＋y＝eq \f(\r(5),2).当x＝－2eq \r(5)时，a＝(1,2，－2eq \r(5))，因为l1⊥l2，所以a·b＝eq \r(5)＋2y－2eq \r(5)＝0，解得y＝eq \f(\r(5),2)，x＋y＝－eq \f(3\r(5),2).故选A.
名师点拨：空间向量数量积的应用
【变式训练】
(2023·河南驻马店期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，CD⊥平面PAD.AB＝6，∠BAD＝60°，PC＝AD＝2PD＝2BC＝4，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为( D )
A.eq \f(\r(15),5) B．eq \f(\r(10),5)
C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(\r(5),5)
[解析] 由题意可知DA，DC，DP两两垂直，则以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DP,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可知A(4,0,0)，P(0,0,2)，B(1,3eq \r(3)，0)，C(0,2eq \r(3)，0)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－eq \r(3)，0)．设异面直线PA与BC所成的角为θ，则cs θ＝|cs〈eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(PA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,2\r(5)×2)＝eq \f(\r(5),5).
求夹角
设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角
求长度
(距离)
利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂
直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题