2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点4利用向量证明判断空间的平行与垂直

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(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC∥平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EH⊥AD，
∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥EH，PE⊥AD，∴AE、EH、EP两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(2),2)))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0，0))，E(0,0,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，\f(\r(2),2)，0)).
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0，－\f(\r(2),2)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(2)，0)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×0＋0×(－eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))×0＝0，
∴eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即PA⊥BD.
(2)设线段AB上存在点G满足条件，
则eq \(AG,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)λ，eq \r(2)λ，0)(0≤λ≤1)，
eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)λ，eq \r(2)λ，0)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0，0))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)λ＋\f(\r(2),2)，\r(2)λ，0)).
且eq \(BC,\s\up6(→))＝meq \(EG,\s\up6(→))＋neq \(PE,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)λm＋\f(\r(2),2)m，\r(2)λm，－\f(\r(2),2)n))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(2)λm＋\f(\r(2),2)m＝－\f(\r(2),2)，,\r(2)λm＝－\f(\r(2),2)，,n＝0))解得λ＝eq \f(1,4).
∴存在点G，当AG＝eq \f(1,4)AB时，BC∥平面PEG.
注：本题也可用几何法求解，或求平面PEG的法向量n，利用n·eq \(BC,\s\up6(→))＝0⇔n⊥eq \(BC,\s\up6(→))⇔BC∥平面PEG判断解答．
名师点拨：
1．建立空间直角坐标系时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．
2．用向量法证平行问题的类型及常用方法
3.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
【变式训练】
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
[证明] 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．
设BA＝a，则A(a,0,0)，
Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，4))，A1(a，0,4)．
(1)因为eq \(BA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq \(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(B1D,\s\up6(→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(B1D,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)证法一：因为eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，1))，eq \(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，
所以eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(EG,\s\up6(→))＝0，eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.
证法二：∵eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，0))，∴eq \(GF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
∴GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，GF⊂平面EGF，EF⊂平面EGF，
∴平面EGF∥平面ABD.线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示
面面平行
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)
②转化为线面平行、线线平行问题
线线垂直问题
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直问题
直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题
两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直