2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用考点3与圆有关的轨迹问题

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2．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解析] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[引申]本例1中若|PO1|＝2|PO2|，则P点的轨迹方程为 x2＋y2－eq \f(20,3)x＋4＝0 .
[解析] 同例1解析建立平面直角坐标系，设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，化简得P点的轨迹方程与x2＋y2－eq \f(20,3)x＋4＝0.
名师点拨：求与圆有关的轨迹方程的方法
【变式训练】
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．则：
(1)直角顶点C的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝4(y≠0) ；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1(y≠0) .
[解析] (1)解法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，
M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).