2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用考点4圆的综合应用

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即eq \f(|\r(3)a－0|,\r(1＋3))＝eq \f(\r(3)a,2)＝eq \f(\r(3),2)，∴a＝1，
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)假设存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称，那么kAN＝－kBN，
设N(t,0)，t>0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋y2＝4，,y＝kx－2))得
(k2＋1)x2－(4k2＋2)x＋(4k2－3)＝0，
Δ＝(4k2＋2)2－4(k2＋1)(4k2－3)＝12k2＋16>0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(4k2＋2,k2＋1)，,x1x2＝\f(4k2－3,k2＋1)，))
由kAN＝－kBN，∴eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0，
∴eq \f(kx1－2,x1－t)＋eq \f(kx2－2,x2－t)＝0，
∴2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t＝0，
∴eq \f(24k2－3,k2＋1)－eq \f(4k2＋2t＋2,k2＋1)＋4t＝0，
∴2(4k2－3)－(4k2＋2)(t＋2)＋4t(k2＋1)＝0，
∴2t－10＝0，∴t＝5.
故存在，当点N为(5,0)时，直线AN与直线BN关于x轴对称．
【变式训练】
(2024·辽宁辽东南适应性联考)已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
[解析] (1)由题意，设圆心为C(a,0)(a>0)，因为圆C过原点，所以半径r＝a，
又圆C与直线3x＋4y－8＝0相切，所以圆心C到直线的距离d＝eq \f(|3a－8|,5)＝a⇒a＝1(负值舍去)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)①将直线l代入圆的方程可得(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0，因为有两个交点，
所以Δ＝(4k－2)2－16(k2＋1)>0⇒k