2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第5讲椭圆第1课时考点2椭圆的标准方程

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[解析] 由已知，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))
从而b2＝a2－c2＝9.
∴所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
2．经过点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点的椭圆的标准方程为 eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1 .
[解析] 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
∵点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)在椭圆上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq \f(1,15)，n＝eq \f(1,5).
故椭圆方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1.
3．与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq \r(3))的椭圆的标准方程为 eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1 .
[解析] 若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq \r(3))代入，得t＝eq \f(22,4)＋eq \f(－\r(3)2,3)＝2.
故所求方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
若焦点在y轴上，设方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝λ(λ>0)代入点(2，－eq \r(3))，得λ＝eq \f(25,12)，∴所求方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
综上可知椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
4．(多选题)(2024·重庆调研)已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是( BD )
A．|PF1|＋|PF2|＝4
B．若△F1PF2的面积为2eq \r(7)，则点P的横坐标为±eq \f(4,3)eq \r(5)
C．存在点P满足∠F1PF2＝90°
D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－eq \f(9,16)
[解析] 依题意a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；
|F1F2|＝2eq \r(7)，eq \f(1,2)×2eq \r(7)×|y0|＝2eq \r(7)，|y0|＝2，
xeq \\al(2,0)＝eq \f(144－16y\\al(2,0),9)＝eq \f(144－64,9)＝eq \f(80,9)，x0＝±eq \f(4\r(5),3)，B正确；
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)≥eq \f(\f(|PF1|＋|PF2|2,2)－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(2a2－4c2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(32－28,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(2,|PF1|·|PF2|)>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在P满足∠F1PF2＝90°，C错误；
设P(x0，y0)，
eq \f(x\\al(2,0),16)＋eq \f(y\\al(2,0),9)＝1,9xeq \\al(2,0)＋16yeq \\al(2,0)＝144，yeq \\al(2,0)＝eq \f(9,16)(16－xeq \\al(2,0))，
A1(－4,0)，A2(4,0)，
kPA1·kPA2＝eq \f(y0－0,x0＋4)·eq \f(y0－0,x0－4)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－16)＝eq \f(\f(9,16)16－x\\al(2,0),x\\al(2,0)－16)＝－eq \f(9,16)，D正确．故选BD.
[引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为 eq \f(x2,4＋2\r(3))＋eq \f(y2,3＋2\r(3))＝1 .
[解析] 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,4＋λ)＋eq \f(y2,3＋λ)＝1，则eq \f(4,4＋λ)＋eq \f(3,3＋λ)＝1，解得λ＝±2eq \r(3)，又3＋λ>0，∴λ＝2eq \r(3)，故椭圆标准方程为eq \f(x2,4＋2\r(3))＋eq \f(y2,3＋2\r(3))＝1.
名师点拨：
1．求椭圆标准的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置；
(2)设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
(4)求解，得方程．
可概括为先“定位”，再“定量”．
3．椭圆系方程的应用
(1)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同的离心率椭圆系方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)．
(2)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
【变式训练】
1．(多选题)若方程eq \f(x2,3－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是( BC )
A．若1B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则t<1
[解析] 若C为椭圆则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－t>0，,t－1>0，,3－t≠t－1，))则1若C为焦点在y轴上的椭圆则t－1>3－t>0，
则2∴C对；若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，则t>3或t<1.∴D错．故选BC.
2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为( B )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)＋y2＝1
[解析] 因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(1,3)，
解得eq \f(b2,a2)＝eq \f(8,9)，b2＝eq \f(8,9)a2，
A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，
B为上顶点，所以B(0，b)．
所以eq \(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，
因为eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝eq \f(8,9)a2代入，
解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.故选B.