2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点1双曲线的定义及应用

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点1双曲线的定义及应用，共3页。试卷主要包含了已知两圆C1等内容，欢迎下载使用。

A．x2－eq \f(y2,8)＝1 B．eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1) D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
[解析] 设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，|C2M|＝3＋r，
∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|.
∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，且c＝3，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝8，∴其轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．故选D.
2．(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点，A(4,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 8＋eq \r(17) .
[解析] 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝8＋|PF1|，所以|PF|＋|PA|＝8＋|PF1|＋|PA|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小为|AF1|＝eq \r(17)，故所求的最小值为8＋eq \r(17).
3．已知点P是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1右支上一点，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的周长为16，点O为坐标原点，则eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(F1F2,\s\up6(→))＝( B )
A．20 B．－20
C．40 D．－40
[解析] ∵c＝eq \r(a2＋b2)＝3，∴|PF1|＋|PF2|＝10，
又|PF1|－|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|＝7，|PF2|＝3，
∴eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(F1F2,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→)))·(eq \(PF2,\s\up6(→))－eq \(PF1,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(|eq \(PF2,\s\up6(→))|2－|eq \(PF1,\s\up6(→))|2)＝－20，故选B.
[引申1]本例1中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2) .
[引申2]本例1中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2) .
[引申3]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1) .
[引申4]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 .
[引申5]本例2中|PF|－|PA|的最小值为 8－eq \r(17) .
[解析] 设双曲线右焦点为F1，则|PF|－|PA|＝|PF1|－|PA|＋2a≥2a－|AF1|＝8－eq \r(17)(当且仅当P在AF1延长线上时取等号)，∴|PF|－|PA|的最小值为8－eq \r(17).
[引申6]若将本例3中“△PF1F2的周长为16”改为“△PF1F2的面积为16”，则sin∠F1PF2＝ eq \f(160,281) .
[解析] 由题意知，|PF1|－|PF2|＝4，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，
又|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2＝36，
∴|PF1||PF2|(1－cs∠F1PF2)＝10，
又eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝16，
∴eq \f(1－cs∠F1PF2,sin∠F1PF2)＝eq \f(5,16)，即eq \f(sin\f(∠F1PF2,2),cs\f(∠F1PF2,2))＝eq \f(5,16)，
∴taneq \f(∠F1PF2,2)＝eq \f(5,16)，
∴sin∠F1PF2＝eq \f(2tan\f(∠F1PF2,2),1＋tan2\f(∠F1PF2,2))＝eq \f(160,281).
名师点拨：
1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【变式训练】
1．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sin B－sin C＝eq \f(1,2)sin A时，则点A的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x>2) .
[解析] 设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sin B－sin C＝eq \f(1,2)sin A，得eq \f(|AC|,2R)－eq \f(|AB|,2R)＝eq \f(1,2) ·eq \f(|BC|,2R).又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x>2)．
2．(2022·河南九师联盟摸底)双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是7，则P到F2的距离是( A )
A．13 B．1
C．1或13 D．2或14
[解析] 由双曲线方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，c＝5.
因为|PF1|所以|PF2|>|PF1|，所以|PF2|－|PF1|＝2×3＝6.
又∵|PF1|＝7，∴|PF2|＝13.