2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点2双曲线的标准方程

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点2双曲线的标准方程，共2页。试卷主要包含了∴eq \r＝5，λ＝5；等内容，欢迎下载使用。

[解析] 椭圆eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,49)＝1的焦点在y轴上，且aeq \\al(2,1)＝49，beq \\al(2,1)＝24，∴c1＝eq \r(a\\al(2,1)－c\\al(2,1))＝5.从而双曲线的焦点在y轴上且c＝5，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9，故双曲线的方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
2．渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，焦距为10的双曲线的标准方程为 eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1 .
[解析] 设所求双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1，
∴c＝eq \r(5λ).∴eq \r(5λ)＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为eq \f(y2,－λ)－eq \f(x2,－4λ)＝1，
∴c＝eq \r(－5λ).∴eq \r(－5λ)＝5，λ＝－5.
∴所求双曲线方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1.
3．经过两点P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)的双曲线的标准方程为 eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1 .
[解析] 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
名师点拨：求双曲线的标准方程的方法
1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
2．待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可．特别的①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或渐近线为y＝\f(b,a)x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或y＝－\f(b,a)x))))的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2特别地：离心率为eq \r(2)的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
【变式训练】
1．(2021·北京高考)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( A )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D．eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
[解析] ∵e＝eq \f(c,a)＝2，则c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
则双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
将点(eq \r(2)，eq \r(3))的坐标代入双曲线的方程可得eq \f(2,a2)－eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b2＝3，
因此，双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.故选A.
2．(2024·浙江浙东北联盟期中)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有公共渐近线，且过点(2eq \r(2)，2)的双曲线的标准方程为 eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1 .
[解析] 设所求的双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0)，
因为双曲线过点(2eq \r(2)，2)，所以eq \f(2\r(2)2,16)－eq \f(22,4)＝λ，
解得λ＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝－eq \f(1,2)，
化为标准方程得eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1.