2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线考点2抛物线的标准方程

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∴p1＝eq \f(2,3)或p2＝eq \f(9,4).
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(4,3)x或x2＝eq \f(9,2)y.
2．焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为 y2＝16x或x2＝－8y ，准线方程为 x＝－4或y＝2 .
[解析] 令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，eq \f(p,2)＝2，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，
对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(2，y0)，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，则抛物线方程为( C )
A．y2＝8x B．y2＝16x
C．y2＝24x D．y2＝32x
[解析] 解法一：作AB⊥x轴，则AB∥MK，
因为2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，且A(2，y0)，
所以eq \f(|AF|,|AM|)＝eq \f(|BF|,|BK|)＝eq \f(\f(p,2)－2,\f(p,2)＋2)＝eq \f(1,2)，
即2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))＝2＋eq \f(p,2)，解得p＝12，
所以抛物线方程是y2＝24x，故选C.
解法二：作AN垂直准线l于N，
则|AN|＝|AF|，又2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，
∴|AN|＝eq \f(1,2)|AM|，
∴∠AMN＝eq \f(π,6).
∴|AF|＝eq \f(1,3)|MF|＝eq \f(2p,3)，
即2＋eq \f(p,2)＝eq \f(2p,3)，∴p＝12.
故抛物线方程为y2＝24x.故选C.
解法三：由解法一与二知∠BFA＝eq \f(π,3)，
∴|BA|＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))))，代入抛物线方程得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))2＝4p，解得p＝12或eq \f(4,3)(舍去)
∴抛物线方程为y2＝24x，故选C.
[引申](1)本例3中若直线FA交抛物线于另一点B，则|AB|＝ 32 .
(2)本例3中若将“2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))”改为“2|FA|＝|AM|”则抛物线方程为 y2＝24x或y2＝eq \f(8,3)x .
[解析] (1)由p＝12知|AF|＝8，
又eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,12)，
∴|BF|＝24，∴|AB|＝32.
(2)若A在第四象限，抛物线方程为y2＝24x，
若A在第一象限，同理可求得抛物线方程为y2＝eq \f(8,3)x.
名师点拨：求抛物线的标准方程的方法
1．求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
2．因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)．
注：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解．
已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【变式训练】
1．(2024·山东青岛调研)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为( A )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝－2y D．x2＝2y
[解析] 抛物线x2＝2py的开口向上，由于M(x,4)在C上，且|MF|＝5，根据抛物线的定义可知4＋eq \f(p,2)＝5，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.故选A.
2．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为－2的直线交抛物线C于A，B.若|AB|＝eq \f(5,2)，则抛物线C的方程为( B )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝6x
[解析] AB的方程为y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，即y＝－2x＋p，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋p，,y2＝2px，))得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(3,2)p，x1x2＝eq \f(p2,4)，∴eq \f(5,2)＝|AB|＝eq \r(5)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(5,2)p，解得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故选B.