2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线考点4直线与抛物线的综合问题

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线考点4直线与抛物线的综合问题，共4页。试卷主要包含了已知直线l，所以D错误，故选AC等内容，欢迎下载使用。
A．k＝2 B．m＝3
C．|AB|＝5 D．OA⊥OB
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得y2－eq \f(4,k)y－4＝0，所以y1＋y2＝eq \f(4,k)＝2，y1·y2＝－4，所以k＝2，又点M(m,1)在直线l上，所以m＝eq \f(3,2)，所以A正确，B错误；
因为直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝5，所以C正确；
因为y1·y2＝－4，所以x1·x2＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＝1，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.所以D错误，故选AC.
2．(2024·山西运城调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，圆M：(x－1)2＋y2＝1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则9|AP|＋4|BQ|的最小值为 12 .
[解析] 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，如图，|PF|＝|QF|＝1，又eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1,9|AP|＋4|BQ|＝9(|AF|－|PF|)＋4(|BF|－|QF|)＝9|AF|＋4|BF|－13＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))(9|AF|＋4|BF|)－13＝eq \f(9|AF|,|BF|)＋eq \f(4|BF|,|AF|)≥2eq \r(9×4)＝12.(当且仅当3|AF|＝2|BF|时取等号)∴9|AP|＋4|BQ|的最小值为12.
3．(2024·辽宁名校联盟联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A(m,2)(m>0)到F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)设斜率为k的直线l过点B(2,0)，且与抛物线C交于不同的两点M，N，若eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BN,\s\up6(→))，λ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，求斜率k的取值范围．
[解析] (1)由题意知2＋eq \f(p,2)＝3，得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
将点A(m,2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2eq \r(2).
所以点A的坐标为(2eq \r(2)，2)．
(2)直线l：y＝k(x－2)与抛物线C：x2＝4y联立，消去y得x2－4kx＋8k＝0，Δ＝16k2－32k>0，
解得k2.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，
eq \(BM,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq \(BN,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，
则y1＝λy2，即λ＝eq \f(y1,y2)，
因为xeq \\al(2,1)＝4y1，xeq \\al(2,2)＝4y2，所以λ＝eq \f(x\\al(2,1),x\\al(2,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，
则eq \f(x1,x2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
因为eq \f(x1＋x22,x1x2)＝eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＋2＝eq \f(16k2,8k)＝2k，
设t＝eq \f(x1,x2)，则2k＝t＋eq \f(1,t)＋2，
因为t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
则t＋eq \f(1,t)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－2))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，
所以k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4)))，
又因为k2，
所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4))).
名师点拨：
1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用根与系数的关系“整体代入”求解．注意根据抛物线方程确定消x还是消y，一般消一次项变量．
2．求解抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
3．“中点弦”问题的处理方法
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－eq \f(b2x0,a2y0)；在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝eq \f(b2x0,a2y0)；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝eq \f(p,y0).
【变式训练】
1．(2023·安徽卓越县中联盟联考)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与E交于A，B两点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则l的倾斜角θ＝( D )
A.eq \f(π,2) B．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[解析] 如图作AM⊥l1于M，
BN⊥l1于N，BH⊥AM于H，
(l1为准线)．设|eq \(BF,\s\up6(→))|＝a，由eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，
知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4a，|eq \(AH,\s\up6(→))|＝2a，
∴∠HAB＝eq \f(π,3)，∴l的倾斜角为eq \f(π,3)，同理当A在第四象限时，l的倾斜角为eq \f(2π,3).故选D.
2．(2024·江西稳派大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，顶点为坐标原点O，过点F的直线l与C相交于A，B两点，当点O到直线l的距离最大时，|AB|＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)过点B作BD⊥x轴于点D，记线段BD的中点为P，且△OAF与△OPF的面积之和为S，求S的最小值．
[解析] (1)由题意知，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l斜率不为0，当AB⊥x轴时，点O到直线l的距离为|OF|，最大．事实上，若AB与x轴不垂直时，作OH⊥l于H，显然|OH|