2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线__定点定值探究性问题考点2定直线问题

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[解析] (1)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝2eq \r(5)，
则由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)可得a＝2，b＝eq \r(c2－a2)＝4，
双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
显然直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－eq \f(1,2)0，b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，点A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)b))，且A2B∥OP，|F1A2|＝2＋eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)过点(2eq \r(3)，0)作直线l分别交双曲线左右两支于C，D两点，直线A1C与直线A2D交于点M，证明：点M在定直线上．
[解析] (1)有题意可知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，A2(a,0)，
因为A2B∥OP，所以－eq \f(b2,ac)＝－eq \f(b,2a)，即c＝2b，
所以a＝eq \r(3)b.
因为|F1A2|＝2＋eq \r(3)，所以a＋c＝(2＋eq \r(3))b＝2＋eq \r(3)，
所以b＝1，c＝2，a＝eq \r(3)
所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线CD：x＝ty＋2eq \r(3)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,x＝ty＋2\r(3)，))可得，(t2－3)y2＋4eq \r(3)ty＋9＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2－3≠0，,Δ>0，,\f(9,t2－3)>0，))可得t>eq \r(3)或t