2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第7章立体几何第5讲空间向量及其运算

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1．利用共点且两两垂直的三条直线建系(即“墙角”型)——分别以三条直线所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．当条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直＋面内两条线垂直)，这个过程不能省．建系后对坐标不易确定的点，通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值来确定．
常见类型：
2．利用线面垂直关系建系——常以此直线或与此直线平行的直线为z轴，在垂面内找到x轴，y轴，建立空间直角坐标系．
(面面垂直或知某点在平面内的射影转化为线面垂直问题)
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq \r(2)，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
证明：PC⊥平面BED.
[证明] 由PA⊥底面ABCD知，可分别以AC、PA所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,2)，C(2eq \r(2)，0,0)，由PE＝2EC知Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(2),3)，0，\f(2,3)))，设B(eq \r(2)，－a,0)，则eq \(PC,\s\up6(→))＝(2eq \r(2)，0，－2)，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，a，\f(2,3)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝(0,2a,0)，
∴eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
∴PC⊥BE，PC⊥BD，
∴PC⊥平面BED.
注：本题也可以分别以OC、OD所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，或分别以AB、PA所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系．
3．利用正棱锥(或正棱台或正棱柱)底面中心和高所在直线建系；
4．无线面垂直关系，但某一平面内有两条垂直直线——常以这两直线为两坐标轴建立空间直角坐标系．
如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，建立适当的坐标系并求出各点坐标．
[解析] 解法一：取AD中点O，连接BO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，
∵BC綉OD，∴四边形BCDO为平行四边形，
∴BO∥CD，
∵CD⊥AD，∴BO⊥OD.
如图，分别以OB，OD为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，
设P(x，y，z)，由题意可知PA＝PD＝eq \r(2)，PC＝2，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PA|＝\r(2)，,|PD|＝\r(2)，,|PC|＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y＋12＋z2＝2，,x2＋y－12＋z2＝2，,x－12＋y－12＋z2＝4，))
解得y＝0，x＝－eq \f(1,2)，z＝eq \f(\r(3),2)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，\f(\r(3),2))).
解法二：由AD⊥平面POB知z轴⊂平面POB，
又BC⊥平面POB，
∴BC⊥PB，
∴PB＝eq \r(PC2－BC2)＝eq \r(3)，
又OB＝OP＝1，∴∠BOP＝120°，
作PH⊥x轴于H，由∠POH＝60°，
知OH＝eq \f(1,2)，PH＝eq \f(\r(3),2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，\f(\r(3),2))).
名师点拨：坐标法的重难点是求点的坐标和利用向量公式运算，在求点的坐标过程中，有以下几种方法：
1．作坐标轴(或坐标平面)的射影，直接找出横、纵、竖坐标；
2．利用向量平行或相等进行转化；
3．直接设点，找等量关系(线段长度，垂直关系)列方程组．
【变式训练】
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明B1C1⊥CE；
(2)求EC1与B1C所成角的余弦值．
[解析] (1)证明：∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AB，AA1⊥AD，
又AB⊥AD，∴AB、AD、AA1两两垂直，如图
建立空间直角坐标系
由题意知B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，C(1,0,1)，E(0，1,0)，
∴eq \(B1C1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，
∴eq \(B1C1,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝0，∴B1C1⊥CE.
(2)由(1)得：eq \(EC1,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq \(B1C,\s\up6(→))＝(1，－2，－1)，
记EC1与B1C所成的角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(EC1,\s\up6(→))·\(B1C,\s\up6(→))|,|\(EC1,\s\up6(→))|·|\(B1C,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(3)×\r(6))＝eq \f(\r(2),3).