2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第5讲椭圆第2课时

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由题意可知，|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c，由题意可得P(0,4)，R(－3,0)，则PR：4x－3y＋12＝0，kPR＝eq \f(4,3)，设M(n,1)，Q(n,0)，则M到PR的距离d＝eq \f(|4n－3＋12|,\r(42＋32))＝1，解得n＝－1(舍去)，n＝－eq \f(7,2)，则|QR|＝eq \f(7,2)－3＝eq \f(1,2)＝a－c，又设PN：kx－y＋4＝0，由d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)k－1＋4)),\r(k2＋1))＝1，得45k2－84k＋32＝0.∴kPR·kPN＝eq \f(32,45)，则kPN＝eq \f(8,15)，得xN＝－eq \f(15,2)，∴2a＝eq \f(15,2)－3＝eq \f(9,2)，则a＝eq \f(9,4)，故得c＝eq \f(7,4).∴椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(7,9).
【变式训练】
(多选题)(2023·江苏如皋期中调研)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则下列结论正确的有( BC )
A．该椭圆的离心率为eq \f(\r(3)－1,2)
B．该椭圆的离心率为2－eq \r(3)
C．该椭圆的焦距为eq \f(3\r(2)－\r(6),3)
D．该椭圆的焦距为2eq \r(3)－1
[解析] 如图，A，B分别是椭圆左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为该圆的圆心．
因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，
所以|BF1|＝eq \r(2)，
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝eq \r(2).
因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，
由正弦定理得eq \f(2,sin 60°，)＝eq \f(2a,sin60°＋45°)，
解得a＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),6)，所以c＝eq \r(2)－a＝eq \f(3\r(2)－\r(6),6)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(2)－\r(6),3\r(2)＋\r(6))＝2－eq \r(3)，2c＝eq \f(3\r(2)－\r(6),3).
故选BC.