2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时

这是一份2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时，共4页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。

A．射线n所在直线的斜率为k，则k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(4,3)))
B．当m⊥n时，|PF1|·|PF2|＝32
C．当n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13
D．若T(1,0)，直线PT与C相切，则|PF2|＝12
[解析] 在双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1中，a＝3，b＝4，
则c＝5，易知点F1(－5,0)、F2(5,0)，
设|PF1|＝u，|PF2|＝v，P(x0，y0)，
对于A选项，因为双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，
当点P在第一象限内运动时，随着x0的增大，射线n慢慢接近于直线y＝eq \f(4,3)x，此时0同理可知当点P在第四象限内运动时，－eq \f(4,3)当点P为双曲线的右顶点时，k＝0，
综上所述，k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(4,3)))，A对；
对于B选项，当m⊥n时，u－v＝2a＝6，
u2＋v2＝(u－v)2＋2uv＝36＋2uv＝102，
所以，|PF1|·|PF2|＝uv＝32，B对；
对于C选项，|F1Q|＝eq \r(7＋52＋52)＝13，
故n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为|PF2|＋|PQ|＝|PF1|－2a＋|PQ|＝|F1Q|－6＝7，C错；
对于D选项，若T(1,0)，由角平分线定理可得eq \f(S△PF1T,S△PF2T)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(|F1T|,|F2T|)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，
即eq \f(6＋|PF2|,|PF2|)＝eq \f(3,2)，解得|PF2|＝12，D对．故选ABD.
2．(2022·河南许昌阶段性测试)抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线a′和b′之间的距离为eq \f(4\r(3),3)，则p＝( B )
A.1 B．2
C．3 D．4
[解析] 设A关于x轴的对称点为A1，则由题意知B、F、A1共线，且kA1B＝eq \r(3)，记A1(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝kA1B＝eq \f(2p,y1＋y2)，∴eq \f(2p,\f(4\r(3),3))＝eq \r(3)，解得p＝2.故选B.
【变式训练】
1．(2024·广西玉林联考)双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足DA⊥AB，tan∠ABC＝－eq \f(1,2)，则该双曲线的离心率为 eq \r(3) .
[解析] 由题可知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，设|AF1|＝m，则|AF2|＝m－2a，又|AB|＝2|AF1|，所以|BF2|＝m＋2a，所以|BF1|＝m＋4a，又AF1⊥AB，所以|BF1|＝eq \r(5)m，由m＋4a＝eq \r(5)m，得m＝(eq \r(5)＋1)a＝|AF1|，则|AF2|＝m－2a＝(eq \r(5)－1)a，而|F1F2|＝2c，则4c2＝(eq \r(5)＋1)2a2＋(eq \r(5)－1)2a2，化简得c2＝3a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
2．(2022·重庆梁平区联考)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．
(1)在杯口放一个半径为4 cm的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 4＋2eq \r(3) cm；
(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) (单位：cm)．
[解析] (1)因为在杯口放一个半径为4 cm的玻璃球，又因为杯口宽4 cm，
所以如图1所示，有
|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝4，C1D⊥AB，
所以|AD|＝|BD|＝2，所以
|C1D|＝eq \r(|C1B|2－|DB|2)＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3)，
所以|DE|＝4－2eq \r(3)，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，
故最小距离为|OD|－|DE|＝4＋2eq \r(3).
(2)如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2,8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
所以将B(2,8)代入得m＝2，故抛物线方程为y＝2x2，
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，
设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即eq \r(x2＋2x2－r2)≥r，
则有x2(4x2＋1－4r)≥0恒成立，解得1－4r≥0，
可得0＜r≤eq \f(1,4).
所以玻璃球的半径的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).