2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时

这是一份2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时，共4页。试卷主要包含了已知双曲线C，设B是椭圆C等内容，欢迎下载使用。

A.eq \r(2)＋1 B．2
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
[解析] 设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，
∴|F1M|＝|F1F2|，∴eq \f(b2,a)＝2c，
∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，∴e＝1±eq \r(2)，
∵e>1，∴e＝eq \r(2)＋1，故选A.
2．(2020·新课标Ⅰ卷)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 2 .
[解析] 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,c2＝b2＋a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))所以|BF|＝eq \f(b2,a).依题可得，eq \f(|BF|,|AF|)＝3，|AF|＝c－a，即eq \f(\f(b2,a),c－a)＝eq \f(c2－a2,ac－a)＝3，变形得c＋a＝3a，c＝2a，因此，双曲线C的离心率为2.
3．(2021·天津高考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝eq \r(2)|AB|，则双曲线的离心率为( A )
A.eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2 D．3
[解析] 设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c,0)，
则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c，
令x＝－c，则eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq \f(b2,a)，所以|AB|＝eq \f(2b2,a)，
又因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，所以|CD|＝eq \f(2bc,a)，
所以eq \f(2bc,a)＝eq \f(2\r(2)b2,a)，即c＝eq \r(2)b，所以a2＝c2－b2＝eq \f(1,2)c2，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，故选A.
4．(多选题)(2022·全国高考乙卷)双曲线C的两个焦点分别为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs ∠F1NF2＝eq \f(3,5)，则C的离心率为( AC )
A.eq \f(\r(5),2) B．eq \f(3,2)
C．eq \f(\r(13),2) D．eq \f(\r(17),2)
[解析] 依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
若M，N分别在左右支，因为OG⊥NF1，且cs ∠F1NF2＝eq \f(3,5)>0，所以N在双曲线的右支，
又|OG|＝a，|OF1|＝c，|GF1|＝b，
设∠F1NF2＝α，∠F2F1N＝β，
在△F1NF2中，有eq \f(|NF2|,sin β)＝eq \f(|NF1|,sinα＋β)＝eq \f(2c,sin α)，
故eq \f(|NF1|－|NF2|,sinα＋β－sin β)＝eq \f(2c,sin α)即eq \f(a,sinα＋β－sin β)＝eq \f(c,sin α)，
所以eq \f(a,sin αcs β＋cs αsin β－sin β)＝eq \f(c,sin α)，
而cs α＝eq \f(3,5)，sin β＝eq \f(a,c)，cs β＝eq \f(b,c)，故sin α＝eq \f(4,5)，
代入整理得到2b＝3a，即eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(13),2)
若M，N均在左支上，
同理有eq \f(|NF2|,sin β)＝eq \f(|NF1|,sinα＋β)＝eq \f(2c,sin α)，其中β为钝角，故cs β＝－eq \f(b,c)，
故eq \f(|NF2|－|NF1|,sin β－sinα＋β)＝eq \f(2c,sin α)
即eq \f(a,sin β－sin αcs β－cs αsin β)＝eq \f(c,sin α)，
代入cs α＝eq \f(3,5)，sin β＝eq \f(a,c)，sin α＝eq \f(4,5)，整理得到：eq \f(a,4b＋2a)＝eq \f(1,4)，
故a＝2b，故e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(5),2)，故选AC.
5.(2021·高考全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( C )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
[解析] 设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，a2＝b2＋c2，∴|PB|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－b)2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),b2)))＋(y0－b)2＝－eq \f(c2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(b3,c2)))2＋eq \f(b4,c2)＋a2＋b2，因为－b≤y0≤b，当－eq \f(b3,c2)≤－b，即b2≥c2时，|PB|eq \\al(2,max)＝4b2，即|PB|max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0－b，即b2名师点拨：
求离心率的取值范围需构造a、b、c间的不等关系，一般从以下几方面入手：①曲线的范围；②构造方程，借助判别式；③数形结合．
【变式训练】
1．(2019·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为 2 .
[解析] 如图，由eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得|F1A|＝|AB|.又|OF1|＝|OF2|，得OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2∥OA，|BF2|＝2|OA|.由eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，则|OB|＝|OF1|，有∠AOB＝∠AOF1，又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°.又渐近线OB的斜率为eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，所以该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋\r(3)2)＝2.
2.(2022·浙江高考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为eq \f(b,4a)的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0[解析] 过F且斜率为eq \f(b,4a)的直线AB：y＝eq \f(b,4a)(x＋c)，
渐近线l2：y＝eq \f(b,a)x，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,4a)x＋c，,y＝\f(b,a)x，))
得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)，\f(bc,3a)))，
由|FB|＝3|FA|，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,9)，\f(bc,9a)))，
而点A在双曲线上，于是eq \f(25c2,81a2)－eq \f(b2c2,81a2b2)＝1，
解得eq \f(c2,a2)＝eq \f(81,24)，所以离心率e＝eq \f(3\r(6),4).