2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用，共3页。试卷主要包含了当两圆C1，两个圆系方程，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
知识点 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)．
归 纳 拓 展
1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．(1)直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f(1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))2.
(2)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．
3．两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √ )
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ eq \r(10) .
[解析] 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝(eq \r(5))2，
又圆心(1,2)到直线l的距离为eq \f(\r(10),2)，
∴|AB|＝2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2)＝eq \r(10).
3．(选择性必修1P98T8)(2024·河北保定部分信息月考)圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为 (x－3)2＋(y＋1)2＝16 .
[解析] 由题意设圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，整理得x2＋y2－eq \f(4,1＋λ)x－eq \f(4λ,1＋λ)y－6＝0，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，所以eq \f(2,1＋λ)－eq \f(2λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－eq \f(1,3)，所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
题组三 走向高考
4．(2023·高考新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为eq \f(8,5)”的m的一个值 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以)) .
[解析] 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq \r(4－d2)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×d×2eq \r(4－d2)＝eq \f(8,5)，解得d＝eq \f(4\r(5),5)或d＝eq \f(2\r(5),5)，由d＝eq \f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(1＋m2))，所以eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4\r(5),5)或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2\r(5),5)，解得m＝±2或m＝±eq \f(1,2).
5．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)或y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)或x＝－1(写出其中一个即可) .
[解析] 解法一：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3,4)，半径为4，两圆圆心距为eq \r(32＋42)＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为kOO1＝eq \f(4,3)，所以kl＝－eq \f(3,4)，设方程为y＝－eq \f(3,4)x＋t(t>0)，
由原点O到l的距离d＝eq \f(|t|,\r(1＋\f(9,16)))＝1，解得t＝eq \f(5,4)，
所以l的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)；
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，
其中p>0，kr1＋r2
无解
4
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
3
相交
|r1－r2|