2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第7讲抛物线，共4页。试卷主要包含了判断下列结论是否正确，过点M的抛物线的标准方程为，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

知识点一 抛物线的定义
平面内 与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等 的点的轨迹叫抛物线．点 F 叫抛物线的 焦点 ，直线 l 叫抛物线的 准线 .
注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂直的一条直线．
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质
归 纳 拓 展
抛物线焦点弦的处理规律
如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l为抛物线的准线)．
则△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；x1＋x2≥2eq \r(x1x2)＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(4)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(1,2)|AB||d|＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|.
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
(7)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．
(8)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点P(2p,0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p,0)．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P135例4)过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l交抛物线于A、B，则|AB|＝( B )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析] 由题意知l：y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B.
3．(多选题)(选择性必修1P136T1)过点M(5，－4)的抛物线的标准方程为( BC )
A．x2＝－eq \f(4,25)y B．x2＝－eq \f(25,4)y
C．y2＝eq \f(16,5)x D．y2＝eq \f(5,16)x
[解析] 若抛物线的对称轴为y轴，设其标准方程为x2＝－2py(p>0)，则25＝8p，∴p＝eq \f(25,8)，抛物线方程为x2＝－eq \f(25,4)y，
若抛物线的对称轴为x轴，设其标准方程为y2＝2px(p>0)，则16＝10p，∴p＝eq \f(8,5)，抛物线方程为y2＝eq \f(16,5)x，故选BC.
题组三 走向高考
4．(2023·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( D )
A．7 B．6
C．5 D．4
[解析] 因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
5．(多选题)(2022·全国高考真题)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( BCD )
A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2
[解析] 将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－eq \f(1,4)，A错误；kAB＝eq \f(1－－1,1－0)＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1,x2＝y))，可得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝y))得x2－kx＋1＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝k2－4>0，,x1＋x2＝k，,x1x2＝1，))所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(y1＋y\\al(2,1))，
|OQ|＝eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))＝eq \r(y2＋y\\al(2,2))，
所以|OP|·|OQ|＝eq \r(y1y21＋y11＋y2)＝eq \r(kx1·kx2)＝|k|>2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝eq \r(1＋k2)|x1|，|BQ|＝eq \r(1＋k2)|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，
故D正确．故选BCD.标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝ 1
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝
x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
－y0＋eq \f(p,2)