2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第6讲二项分布与超几何分布

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第10章计数原理概率随机变量及其分布第6讲二项分布与超几何分布，共3页。试卷主要包含了n重伯努利试验，二项分布等内容，欢迎下载使用。
知识点一 二项分布
1．n重伯努利试验
只包含 两个 可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果 相互独立 .
2．二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) .
知识点二 超几何分布
1．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布．可记为h(N，M，n)．
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)eq \f(N－n,N－1)，其中p＝eq \f(M,N).
2．二项分布与超几何分布的比较
归 纳 拓 展
1．二项分布的适用范围及本质
(1)适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
2．超几何分布的适用范围及本质
(1)适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．
(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( √ )
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )
(4)小王通过英语听力测试的概率是eq \f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝Ceq \\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3－1＝eq \f(4,9).( × )
题组二 走进教材
2．(选择性必修3P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，X表示“正面向上”出现的次数，则P(X＝2)＝ eq \f(3,8) ，E(X)＝ 2 .
[解析] P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(3,8)，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，∴E(X)＝2.
3．(选择性必修3P79T6改编)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)( C )
A.eq \f(1,7) B．eq \f(15,56)
C．eq \f(2,7) D．eq \f(5,7)
[解析] P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,3),C\\al(3,8))＋eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,8))＝eq \f(2,7).故选C.
题组三 走向高考
4．(2018·课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)