2024年北京市人大附中分校中考模拟数学试题（二）

这是一份2024年北京市人大附中分校中考模拟数学试题（二），共29页。试卷主要包含了之间的关系如下表等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（ ）
A．2.857×10﹣7B．2.857×10﹣6
C．0.2857×10﹣6D．2.857×10﹣8
3．（2分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若|a|＝|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+c＞0B．a﹣b＞0C．|a|＞bD．ab＞0
5．（2分）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．58°C．48°D．138°
6．（2分）盒中有1枚白色棋子和2枚黑色棋子，这三枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）已知x+y＝4，x﹣y＝，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（ ）
A．48B．12C．16D．12
8．（2分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（每题2分，共16分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）已知整数m满足，则m的最大值是 ．
11．（2分）因式分解：2x2﹣2＝ ．
12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径6cm，那么扇形的面积为 cm2．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则AF的长为 ．
14．（2分）有甲，乙两组数据，如表所示，甲，乙两组数据的方差分别为s2甲，s2乙，则s2甲 s2乙（选填“＞”，“＜”或“＝”）
15．（2分）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形．
16．（2分）某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式式：．
19．（5分）已知2a2+3a﹣6＝0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
20．（5分）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
21．（5分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
22．（5分）为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
（1）求两种足球的单价；
（2）为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
25．（6分）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 米．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
27．（7分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．
在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．
（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是 ；
（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO＝30°．
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
②将直线AM向下平移得到直线y＝kx+b，当b满足什么条件时，直线y＝kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）
（3）如图2，点Q为直线y＝﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因为球体的三视图都是大小相同的圆形，因此选项C正确；
故选：C．
2．（2分）2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（ ）
A．2.857×10﹣7B．2.857×10﹣6
C．0.2857×10﹣6D．2.857×10﹣8
【解答】解：0.0000002857＝2.857×10﹣7．
故选：A．
3．（2分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由三视图可知这个几何体是：
故选：A．
4．（2分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若|a|＝|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+c＞0B．a﹣b＞0C．|a|＞bD．ab＞0
【解答】解：∵|a|＝|c|，
∴原点在a，c的中间，
如图：
由图可得：|a|＞|b|，
∴a+c＝0，a﹣b＜0，|a|＞b，ab＜0，
故选项C正确．
故选：C．
5．（2分）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．58°C．48°D．138°
【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°
∴∠1+∠3＝90°
∵∠1＝42°，
∴∠3＝90°﹣42°＝48°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝48°，
故选：C．
6．（2分）盒中有1枚白色棋子和2枚黑色棋子，这三枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意画树状图：
由图可得所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有4种，
所以．
故选：D．
7．（2分）已知x+y＝4，x﹣y＝，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（ ）
A．48B．12C．16D．12
【解答】解：（x﹣y+）（x+y﹣）
＝•
＝•
＝（x+y）（x﹣y），
当x+y＝4，x﹣y＝时，原式＝4＝12，
故选：D．
8．（2分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴为直线t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t＝1.5时，h＝11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选：B．
二、填空题：（每题2分，共16分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠±2 ．
【解答】解：∵代数式若有意义，
则x2﹣4≠0，
x2≠4，
x≠±2，
故答案为：x≠±2．
10．（2分）已知整数m满足，则m的最大值是 3 ．
【解答】解：∵，
即，
∴整数m的最大值是3，
故答案为：3．
11．（2分）因式分解：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径6cm，那么扇形的面积为 12π cm2．
【解答】解：扇形的面积为＝12π（cm2），
故答案为：12π．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则AF的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠FCD，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝2．
∵AC＝＝5，
∴AF＝AC＝．
故答案为：．
14．（2分）有甲，乙两组数据，如表所示，甲，乙两组数据的方差分别为s2甲，s2乙，则s2甲 ＞ s2乙（选填“＞”，“＜”或“＝”）
【解答】解：由表格可知：
甲组数据的平均数为：＝13，
乙组数据的平均数为：＝13，
∴甲组数据的方差为：，
乙组数据的方差为：，
∴乙组数据的方差小，
故答案为：＞．
15．（2分）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 O是AB的中点 时，四边形ACBD为矩形．
【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
16．（2分）某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为 79 ．
【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得；
要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，得效益值17；丙只能承担第三项工作，得效益值14；丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作，得效益值11；
①乙若承担第二项工作，戊承担第一项工作，甲承担第四项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13＝78；
②乙若不承担第二项工作，则承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15＝79，
∴甲承担第二项，乙承担第一项，丙承担第三项，丁承担第五项，戊承担第四项工作时，完成五项工作的效益值总和的最大值是79，
故答案为：79．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝2+3﹣2×+﹣1
＝2+3﹣+﹣1
＝4．
18．（5分）解不等式式：．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤﹣2，
解不等式②得：x＜3，
故不等式组的解集为x≤﹣2．
19．（5分）已知2a2+3a﹣6＝0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【解答】解：∵2a2+3a﹣6＝0，即2a2+3a＝6，
∴原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．
20．（5分）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
【解答】证明：如图2：
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
同理可得：∠BOD＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD
＝2∠ACO+2∠BCO
＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
同理可得：∠BOD＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD
＝2∠BCO﹣2∠ACO
＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB．
21．（5分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 60 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
（2）60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：
（3）800×＝200（人），
答：该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有200人；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织）＝＝．
22．（5分）为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
（1）求两种足球的单价；
（2）为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
【解答】解：（1）设甲种足球的单价是x元，则乙种足球的单价是（x+30）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80．
答：甲种足球的单价是50元，乙种足球的单价是80元；
（2）设学校购买乙种足球y个，则购买甲种足球（50﹣y）个，
根据题意得：50（50﹣y）+80y≤3000，
解得：y≤，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为16．
答：学校至多购买乙种足球16个．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点P的坐标代入y＝（x＞0）得：2＝1×p，
解得：p＝2，
故点P（1，2）；
将点P的坐标代入y＝kx得：2＝k×1，解得：k＝2；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），
∵MN∥x轴，故点N的纵坐标为，
将点N的纵坐标代入直线y＝2x得：＝2x，解得：x＝，
故点N的坐标为（，）；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×|（﹣m）|×＞（m＞0），
解得：m＜或m，
故0＜m或m＞．
24．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，
∴OC⊥CE，
∴∠OCA+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE+∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA+∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE+∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠CDE+∠F＝90°，
∴∠ECF＝∠F，
∴EC＝EF，
∵EF＝3，
∴EC＝DE＝3，
∴OE＝＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，
在Rt△OAD中，AD＝＝2，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴，
即，
∴AC＝．
25．（6分）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 二次 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 32 秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 米．
【解答】解：（1）③如图，
④可能是二次函数图象，
故答案为：二次；
⑤设s＝at2+bt+c（a≠0），
因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
把（4，196）和（8，144）代入可得，
，
解得：a＝，b＝﹣16，
∴s＝t2﹣16t+256，
当t＝12时，s＝×144﹣16×12+256＝100，
当t＝16时，s＝×256﹣16×16+256＝64，
当t＝20时，s＝×400﹣16×20+256＝36，
当t＝24时，s＝×576﹣16×24+256＝16，
∴其余几组数值都在函数图象上，减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s＝t2﹣16t+256；
（2）应用模型：
∵S＝t2﹣16t+256＝，
∴当s＝0时，＝0，
解得t＝32，
当t＝31时，s＝，
当t＝32时，s＝0，
∴﹣0＝（m）．
故答案为：32，．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
∵x0＝2，m＝n，
∴点（2，m），（a﹣1，n）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝a，
∴a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x，
把点（0，n）代入得n＝0．
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
当x＝0时，y＝0，
∴抛物线经过原点，
∴抛物线过点（2a，0），
当抛物线开口向下时，则a＜0，
∵﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴，
解得﹣＜a＜﹣1；
当抛物线开口向上时，则a＞0，
∵﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴a﹣1＞0，
解得a＞1；
故a的取值范围是或a＞1．
27．（7分）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAD＝45°﹣α．
∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；
（2）①补全图形，如图2所示：
②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EA＝EC；理由如下：
过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，
如图3所示：则∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，
即∠ACF＝∠BCE，
∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，
∴∠CAF＝∠CBE，
在△ACF和△BCE中，，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF＝BE，CF＝CE．
∵∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝EC，
即AF﹣EA＝EC．
∴EB﹣EA＝EC．
28．（7分）设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．
在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．
（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是 E、F ；
（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO＝30°．
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
②将直线AM向下平移得到直线y＝kx+b，当b满足什么条件时，直线y＝kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）
（3）如图2，点Q为直线y＝﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意R＝2，r＝1，点O是△ABC的中心，
∵OD＝2，OE＝2，OF＝，
∴点E、F是△ABC的中心关联点
故答案为E，F；
（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（，0）．
可求得直线AM的解析式为y＝﹣x+2，
经验证E在直线AM上．
因为OE＝OA＝2，∠MAO＝60°，
所以△OAE为等边三角形，
所以AE边上的高长为．
当点P在AE上时，≤OP≤2．
所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．
所以0≤m≤；
②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．
当OH＝2时，在Rt△OHG中，∵OH＝2，∠HOG＝30°，
∴cs30°＝，
∴OG＝，
∴满足条件的b的值为﹣≤b≤2；
（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．
由题意当OQ＝时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，
＝，
解得m＝，
∴t＝．t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
甲
10
12
13
14
16
乙
12
12
13
14
14
工作
效益
机器
一
二
三
四
五
甲
15
17
14
17
15
乙
22
23
21
20
20
丙
9
13
14
12
10
丁
7
9
11
9
11
戊
13
15
14
15
11
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠ACB＝∠AOB．



r（秒）
0
4
8
12
16
20
24
…
s（米）
256
196
144
100
64
36
16
…
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
甲
10
12
13
14
16
乙
12
12
13
14
14
工作
效益
机器
一
二
三
四
五
甲
15
17
14
17
15
乙
22
23
21
20
20
丙
9
13
14
12
10
丁
7
9
11
9
11
戊
13
15
14
15
11
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠ACB＝∠AOB．



r（秒）
0
4
8
12
16
20
24
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s（米）
256
196
144
100
64
36
16
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