浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷，共21页。
A．8×10﹣9B．8×10﹣8C．0.8×10﹣8D．0.8×10﹣9
2．（3分）在下列的计算中，正确的是（ ）
A．m3•m2＝m5B．m6÷m2＝m3
C．（2m）3＝6m3D．（m+1）2＝m2+1
3．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）＝x2+4x+1
B．3a（b+c）＝3ab+3ac
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1
4．（3分）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中∠2的同位角是（ ）
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
5．（3分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x）D．（x+3y）（x﹣3y）
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠2
C．∠BDC＝∠DCED．∠BDC+∠ACD＝180°
7．（3分）关于二元一次方程2x+3y＝10，下列说法正确的是（ ）
A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应
B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数
C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解
D．它可与二元一次方程5x﹣3z＝2组成一个二元一次方程组
8．（3分）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74°B．72°C．70°D．68°
10．（3分）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x•4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab﹣2a＝ ．
12．（3分）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝ ．
13．（3分）已知2x＝y﹣3，则代数式（2x﹣y）2﹣6（2x﹣y）+9的值为 ．
14．（3分）已知x＝3﹣t，y＝2t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝ ．
15．（3分）关于x，y的方程组的解为，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组的解为 ．
16．（3分）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝ °，∠EMN﹣∠MNF＝ °．
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）x3•（﹣x）8÷（﹣x2）3．
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．已知（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项．
（1）求a的值．
（2）化简：（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1），并在（1）的条件下求值．
20．如图，在8×8的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．
（1）在图1中找一个格点G，连结EG，使∠DEG＝∠ABC﹣∠DEF．
（2）在图2中找一个格点H，连结FH，使∠EFH+∠ABC＝180°．
21．如图，已知∠C＝∠B，AB∥CD．
（1）试着先判断CF与BD所在的直线平行？请说明理由．
（2）如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝106°，求∠B的度数．
22．如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S1，四边形ABFG的面积记为S2，长方形DCMG的面积记为S3．
（1）用a、b的代数式表示S1和S2；
（2）若，求的值；
（3）若S2＝33，S3＝14，求CH的长．
23．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
24．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ．
参考答案与试题解析
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）甲型流感在我国多地流行，甲型流感病毒的直径大约是0.000000008米．数0.000000008用科学记数法表示为（ ）
A．8×10﹣9B．8×10﹣8C．0.8×10﹣8D．0.8×10﹣9
【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9．
故选：A．
2．（3分）在下列的计算中，正确的是（ ）
A．m3•m2＝m5B．m6÷m2＝m3
C．（2m）3＝6m3D．（m+1）2＝m2+1
【解答】解：A、原式＝m5，原计算正确，故此选项符合题意；
B、原式＝m4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝8m3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式＝m2+2m+1，原计算错误，故此选项不符合题意，
故选：A．
3．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）＝x2+4x+1
B．3a（b+c）＝3ab+3ac
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1
【解答】解：A．（x+2）＝x2+4x+1，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．3a（b+c）＝3ab+3ac，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中∠2的同位角是（ ）
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【解答】解：A、∠2与∠1是同旁内角，故A不符合题意；
B、∠2与∠3是同位角，故B符合题意；
C、∠2与∠4不是同位角，故C不符合题意；
D、∠2与∠5是内错角，故D不符合题意．
故选：B．
5．（3分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x）B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x）D．（x+3y）（x﹣3y）
【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，
故选：A．
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠2
C．∠BDC＝∠DCED．∠BDC+∠ACD＝180°
【解答】解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
B．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD．
故选：B．
7．（3分）关于二元一次方程2x+3y＝10，下列说法正确的是（ ）
A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应
B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数
C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解
D．它可与二元一次方程5x﹣3z＝2组成一个二元一次方程组
【解答】解：A、∵2x+3y＝10，∴y＝，即y是x的一次函数，故本选项说法正确；
B、只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解有无穷多个，故本选项说法错误；
C、二元一次方程2x+3y＝10正整数解为，只有1个，故本选项说法错误；
D、它可与二元一次方程5x﹣3z＝2组成一个三元一次方程，故本选项说法错误．
故选：A．
8．（3分）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，
∴3（y﹣2）＝x；
∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
∴x﹣9＝2y．
∴可列方程组．
故选：A．
9．（3分）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74°B．72°C．70°D．68°
【解答】解：由翻折的性质得：∠AMN＝∠NMP，∠CPM＝∠HPM，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB∥CD，
∴∠AMN＝∠1，
∴∠NMP＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，
∴∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，
∵HP∥GM，
∴∠HPM+∠GMP＝180°，
即：∠HPM+3∠1＝180°，
∵CP∥BM，
∴∠CPM＝∠AMP＝2∠1，
∴∠HPM＝∠CPM＝2∠1，
∴2∠1+3∠1＝180°，
∴∠1＝36°，
∴∠CPM＝2∠1＝72°．
故选：B．
10．（3分）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x•4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①当x与y互为相反数时，则x＝﹣y，
将其代入二元一次方程组，
即，
解得k＝，故①不正确；
②由题可知：4x+y+2（x﹣y）＝2k+2（4﹣k），
可得：6x﹣y＝8，
∴6x﹣y的值与k无关，故②正确；
③∵8x•4y＝32，
∴23x•22y＝25，
∴3x+2y＝5，
∴4x+y﹣x+y＝2k﹣4+k，即3x+2y＝3k﹣4，
可得；3k﹣4＝5，
解得：k＝3，故③正确；
④∵xk＝1，k为整数，
∴当k＝0时，，
解得，符合题意，
当x＝1时，，
解得，符合题意，
当x＝﹣1时，，
解得，符合题意，
∴k的值为0，1，﹣9，故④正确，
综上，正确的有3个．
故选：C．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab﹣2a＝ a（b﹣2） ．
【解答】解：ab﹣2a＝a（b﹣2），
故答案为：a（b﹣2）．
12．（3分）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝ ﹣2x2y3z+1 ．
【解答】解：由题意得M•xy＝﹣2x3y4z+xy，
∴M＝（﹣2x3y4z+xy）÷xy＝﹣2x2y3z+1，
故答案为：﹣2x2y3z+1．
13．（3分）已知2x＝y﹣3，则代数式（2x﹣y）2﹣6（2x﹣y）+9的值为 36 ．
【解答】解：∵2x＝y﹣3，
∴2x﹣y＝﹣3，
∴（2x﹣y）2﹣6（2x﹣y）+9＝（﹣3）2﹣6×（﹣3）+9＝9+18+9＝36，
故答案为：36．
14．（3分）已知x＝3﹣t，y＝2t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y＝ 5﹣2x ．
【解答】解：∵x＝3﹣t，
∴t＝3﹣x，
代入y＝2t﹣1得，y＝2（3﹣x）﹣1＝5﹣2x，
即y＝5﹣2x．
故答案为：5﹣2x．
15．（3分）关于x，y的方程组的解为，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组的解为 ．
【解答】解：①把代入方程组得：，
①+②得：3（a2+b2）＝2，
则a2+b2＝；
②方程组整理得：，
仿照已知方程组得：，即，
故答案为：①；②
16．（3分）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝ 260 °，∠EMN﹣∠MNF＝ 40 °．
【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点 N作NH∥CD，如图：
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
BEO+∠DFO＝260°；
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝40°，
∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°，
故答案为：260；40．
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）x3•（﹣x）8÷（﹣x2）3．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1＝3；
（2）原式＝x3•x8÷（﹣x6）＝﹣x5．
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）对于方程组，
将①代入②，得：2x+5x﹣4＝3，
解得：x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴原方程组的解为：；
（2）对于方程组，
①÷2，得：s+2t＝9③，
②+③，得：4s＝8，
解得：s＝2，
将s＝2代入③得：t＝3.5，
∴原方程组的解为：．
19．已知（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项．
（1）求a的值．
（2）化简：（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1），并在（1）的条件下求值．
【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a，且（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，
∴a﹣3＝0，
∴a＝3；
（2）（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）
＝a2+4a+4﹣（a2﹣1）
＝a2+4a+4﹣a2+1
＝4a+5，
当a＝3时，
原式＝4×3+5
＝17．
20．如图，在8×8的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．
（1）在图1中找一个格点G，连结EG，使∠DEG＝∠ABC﹣∠DEF．
（2）在图2中找一个格点H，连结FH，使∠EFH+∠ABC＝180°．
【解答】解：（1）如图，点G，线段EG，即为所求；（2）如图，点H，线段FH即为所求．
21．如图，已知∠C＝∠B，AB∥CD．
（1）试着先判断CF与BD所在的直线平行？请说明理由．
（2）如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝106°，求∠B的度数．
【解答】解：（1）平行，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BDE，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠BDE，
∴CF∥BD；
（2）∵CF∥BD，
∴∠ADB+∠FAD＝180°，
∵∠ADB＝106°，
∴∠FAD＝74°，
∵AB是∠FAD的平分线，
∴∠FAB＝37°，
∵CF∥BD，
∴∠B＝∠FAB＝37°．
22．如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S1，四边形ABFG的面积记为S2，长方形DCMG的面积记为S3．
（1）用a、b的代数式表示S1和S2；
（2）若，求的值；
（3）若S2＝33，S3＝14，求CH的长．
【解答】解：（1）∵点D在长方形AEFG的边AG上，四边形ABCD和四边形DGFH为正方形，且AD＝a，DG＝b（a＜b），
∴AB＝CD＝GM＝EH＝a，DH＝HF＝GF＝AE＝b，
∴，
∴；
（2）∵CD＝a，CM＝FH＝b，
∴S3＝S长方形DCMG＝CD•CM＝ab，
∵，
∴b＝3a，
∴；
（3）S2＝33，S3＝14，
∴，ab＝14，
∴（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab＝66﹣4×14＝10，
∵b＞a，
∴，
∴．
23．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
【解答】解：（任务一）根据题意得：（390﹣15×5﹣25×3）÷60
＝（390﹣75﹣75）÷60
＝240÷60
＝4（张），
∴此时的实际消费最少为（35﹣15）×5+（68﹣25）×3+（158﹣60）×4
＝20×5+43×3+98×4
＝100+129+392
＝621（元）．
故答案为：4，621；
（任务二）设小明一家用了x张A型的消费券，y张B型的消费券，则用了（x﹣1）张C型的消费券，
根据题意得：，
解得：，
∴x﹣1＝4﹣1＝3（张）．
答：小明一家用了4张A型的消费券，6张B型的消费券，3张C型的消费券；
（任务三）设小明一家用了m张A型的消费券，n张C型的消费券，
根据题意得：15m+60n＝390，
∴m＝26﹣4n，
∵m，n均为正整数，
∴或或或或或．
又∵在此次活动中，小明一家5人共领取了2×5＝10（张）A型的消费券，1×5＝5（张）C型的消费券，
∴或，
∴共有2种搭配方案，
方案1：用了10张A型的消费券，4张C型的消费券；
方案2：用了6张A型的消费券，5张C型的消费券．
24．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ 或140° ．
【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q﹣Q＝110°，
∴∠Q＝．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q+Q＝110°，
∴∠Q＝140°，
综上所述，∠Q＝或140°，
故答案为：或140°．
如何合理搭配消费券？
素材一
为促进消费，杭州市人民政府决定，发放“爱在西湖•你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张.
素材二
在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务.
任务一
若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 张C型的消费券，此时的实际消费最少为 元.
任务二
若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三
若小明一家仅使用了A型和C型的消费券进行消费，消费金额减了390元，求出此时消费券的搭配方案.
如何合理搭配消费券？
素材一
为促进消费，杭州市人民政府决定，发放“爱在西湖•你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张.
素材二
在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务.
任务一
若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 4 张C型的消费券，此时的实际消费最少为 621 元.
任务二
若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三
若小明一家仅使用了A型和C型的消费券进行消费，消费金额减了390元，求出此时消费券的搭配方案.