北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月）数学试卷（解析版）

这是一份北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月）数学试卷（解析版），共11页。

(考试时间60分钟满分100分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1D．-1
2．已知向量，.若，则向量（ ）
A．B．C．D．
3．在中，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ）
A．8B．12C．22D．24
5．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．已知复数满足，则 .
10．已知向量，，在坐标纸中的位置如图所示，若每个小方格的边长为1，则 ； .
11．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都为，灯塔A在观测站C的北偏东方向上，灯塔B在观测站C的南偏东方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为 ．
12．在中，，，，则 ．
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝，,则该三角形的面积等于 ．
14．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积."若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积.给出下列四个结论:①周长为；②三个内角A，C，B满足关系；③外接圆半径为；④中线CD的长为，其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．如图，在平面四边形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求，的值.
16．已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：
①②③④
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的面积.
1．D
【分析】根据复数的乘法运算，可得复数的虚部.
【详解】因为，所以复数的虚部为：.
故选：D
2．B
【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果.
【详解】因为，
故选：B
3．A
【分析】由题意可得，再由正弦定理即可得到结果.
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得.
故选:A
4．C
【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果.
【详解】易知：，，且，.
由.
故选：C
5．B
【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
6．A
【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断是不是必要条件即得
【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设.
则，
因为，所以，所以，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件；
若，则 ，但此时，不是锐角，
所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件.
总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．D
【分析】根据复数的数量积运算求向量的模.
【详解】因为（当且仅当时取“”）.
故选：D
8．C
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
9．
【分析】利用复数的模的性质进行计算.
【详解】由.
故答案为：
10． 0 3
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，再用坐标运算求值.
【详解】如图：建立如图坐标系.
则，，.
则.
故答案为：；
11．
【分析】易得角，再利用余弦定理即可得解.
【详解】如图，由题意得，
则，
所以，
即灯塔A与灯塔B的距离为.
故答案为：.
12．
【详解】试题分析：
考点：正余弦定理解三角形
13．或
【分析】利用余弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.
【详解】由余弦定理得，即，
即，解得或，
当时，，
当时，.
所以该三角形的面积等于或.
故答案为：或
14．①②④
【分析】结合正弦定理，求出三边长之比，在根据已知三角形的面积，可求出三边长，再用正弦定理、余弦定理，向量的模的运算判断各选项.
【详解】因为，根据正弦定理可得：，
可设：，，.
代入得.
所以的周长：，故①正确；
有余弦定理：，所以，故②正确；
由（为三角形外接圆半径）得：，故③错误；
因为且，，，
所以，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：用向量的方法求三角形中线长是一个常用的简单方法.
15．（1）；（2），
【解析】（1）由同角三角函数基本关系得，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可
（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解
【详解】（1）∵，，∴
在△中，，
∴
（2）在△中，由正弦定理得，即
解得，∵，，∴，
在△中，，根据余弦定理，
解得
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16．（1）同时满足①，②，③，理由见解析.（2）
【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.
（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求解的面积.
【详解】（1）同时满足①，②，③.
理由如下：
若同时满足①，④，则在锐角中，
，所以
又因为，所以
所以，这与是锐角三角形矛盾，
所以不能同时满足①，④，
所以同时满足②，③.
因为所以若满足④.
则，则 ，这与是锐角三角形矛盾.
故不满足④.
故满足①，②，③.
（2）因为，
所以.
解得或.
当时，
所以为钝角，与题意不符合，所以.
所以的面积.
【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.