江苏省常州市第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．若，A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．已知向量 ， .那么“”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已，且则等于（ ）
A．B．C．D．
7．若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．非零向量和满足，，则
C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
10．已知函数,则下列命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．
11．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，，，，则 .
13．设是单位向量，且，则的最小值为 ．
14．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当 时，.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
16．已知向量 和 ，则 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 与 的夹角θ的余弦值．
17．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：A，G，C三点共线．
18．已知函数．
（Ⅰ）化简的表达式并求函数的周期；
（Ⅱ）当时，若函数在时取得最大值，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将函数图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.
19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
1．A
【分析】由数量积的坐标公式结合正弦函数的和角公式可得答案.
【详解】由题意
故选：A
2．A
【分析】根据向量坐标的求解公式可求.
【详解】设，因为A点的坐标为，所以.
所以，即.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.
3．A
【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.
【详解】




∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，
故选：
4．A
【分析】先由向量平行求出,再讨论充要性．
【详解】向量， ， ，则解之得,
则“”是“”的充分而不必要条件.
即向量 ,.那么“”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A．
5．A
【分析】利用向量的数量积坐标表示及向量的模公式，再利用投影向量的定义即可求解.
【详解】因为，，
所以，，
所以在上的投影向量是.
故选：．
6．D
【分析】平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.
【详解】平方得，
，
.
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.
7．A
【分析】利用三角恒等变换化简的解析式，再根据的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间.
【详解】解：将函数
的图象上所有的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，求得，
可得的单调递减区间为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.
8．C
【分析】令，，令，，利用平面向量基本定理确定点的位置即可求解作答.
【详解】如图，令，，
于是，
而，并且不共线，因此，解得，
令，，
则，
从而，解得，因此点是线段的中点，
所以，所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
9．BD
【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用向量的和、差的模的平方的关系求得，进而判定B；注意到与同向的情况，可以否定C；延长交于,∵共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到,进而，然后得到，利用分比定理得到，从而判定D.
【详解】即,∴,∴为钝角，故A错误；
，，
，，故B正确；
，当时，与同向，夹角不是锐角，故C错误；
∵，∴，
延长交于,如图所示.

∵共线，∴存在实数，，
∵共线，∴,∴,
∴，∴，∴.
∴，∴，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.
【详解】由，得.
对于A，当时，，
当即时，函数单调递增，
所以函数单调递增区间为，故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度后，得到
所得的图象关于y轴对称，
所以,解得，
当时，m的最小值是，故C正确；
对于D，如图所示，
实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，
则必有，或，此时，另一解为.
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.
【详解】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.
12．
【解析】由于，利用两角和差公式可求出的值.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
同理可得：，
故
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.
13．
【分析】设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.
【详解】，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
故答案为：
14．
【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．
【详解】由已知，，，
，
解得：．
故答案为：．
15．（1）；（2）．
【分析】（1）与垂直，即与的数量积为，利用坐标计算可得值；
（2）因为三点共线，所以，利用平面向量共线的坐标公式计算可得的值．
【详解】解：（1），
因为垂直，所以，
即，得.
（2）
因为三点共线，所以．
所以，即，所以.
16．(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【详解】（1）∵ ,, .
∴ ；
（2）∵,
∴ ；
（3）∵,
∴
17．（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据向量的加法，减法以及数乘运算，即可求出；
（2）以，为基底，利用向量共线定理，两种方式表示出向量，由平面向量基本定理，解方程可求出，而，根据共线定理即可证出．
【详解】（1），．
（2）因为D，G，F三点共线，则，，
即．
因为B，G，E三点共线，则，
即，
由平面向量基本定理知，解得，
所以，
所以A，G，C三点共线．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理和向量共线定理的应用，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于基础题．
18．(Ⅰ) ;（Ⅱ）;（Ⅲ） .
【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；
（Ⅱ）当时，由可得的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，利用伸缩变换法则得到函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间.
【详解】(Ⅰ)
,
∴的周期为;
（Ⅱ）函数在时取得最大值,
∴,∴，
∴，
又∵；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,则将函数图象上各点的横坐标扩大
到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
由,解得，
所以的单调递增区间为.
19．（1）；（2）；（3）存在，点.
【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【详解】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.