广东省惠州市实验中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市实验中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设向量 =（–4，x）， =（–x，1），若与同向，则x＝（ ）
A．2B．–2C．±2D．0
2．复数为纯虚数，则的取值为（ ）
A．1B．-1C．D．0
3．在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为（ ）
A．B．1
C．2D．3
4．某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．千米B．千米C．3千米D．6千米
5．中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
7．已知，，且，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
8．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．下列命题，其中不正确的是（ ）
A．已知复数，，，则仅当时为纯虚数
B．已知复数为实数，则
C．已知复数，则
D．已知复数，则复数对应的点在第四象限
10．已知中，其内角的对边分别为，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
11．已知向量，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值为6D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知向量，，若，则实数 ．
13．如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．

14．在中，角、、的对边分别为、、，已知的面积为4，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求复数以及模.
16．在中，，，．
(1)求A的大小；
(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．
17．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为.

(1)求；
(2)求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标.
18．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
(1)；
(2)周长的取值范围.
19．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

(1)求的值；
(2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
1．A
【分析】由向量共线的充要条件求解即可
【详解】由题可得，–4×1–x•（–x）＝0，解得x＝±2；
当x＝2时， =（–4，2）， =（–2，1），此时与同向，符合题意；
当x＝–2时， =（–4，-2）， =（2，1），此时与反向，不符合题意；
综上，x＝2．
故选A．
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，注意检验同向，是易错题
2．A
【分析】根据纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以且，解得.
故选：A
3．D
【分析】先利用复数的四则运算化简，从而利用复数的几何意义得到的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，
又所对应的点在第二象限，
所以，解得，
所以ABC错误，D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据题设条件画出图形，结合图形利用余弦定理计算即得.
【详解】如图，在中，，
由余弦定理得：，
所以A处与C处之间的距离为千米.
故选：B
5．C
【分析】根据条件，由余弦定理可得角B得大小，再由正弦公式即可求得三角形得面积.
【详解】∵，∴∴
则，.
故选：C.
6．D
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选：D
7．A
【分析】由数量积的运算律求出，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．
【详解】因为，所以.
因为，，所以，
，则向量与的夹角为.
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量数量积的定义与运算律，考查运算求解能力.由数量积的定义有．
8．B
【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】，，
由，P，M共线，存在，使①，
由N，P，B共线，存在，使得②，
由①② ，故.
故选：B.
9．AD
【分析】A选项应当时为纯虚数，D选项复数对应的点在第二象限.
【详解】复数，，，则仅当时为纯虚数，所以A选项错误；
若复数为实数，则，所以B选项正确；
复数，则，所以C选项正确；
复数，则复数对应的点在第二象限，所以D选项错误.
故选：AD
10．ABD
【分析】根据余弦函数的单调性即可判断A；利用正弦定理化边为角以及三角形中大边对大角即可判断B；利用余弦定理化角为边即可判断C；根据二倍角的余弦公式化简即可判断D.
【详解】对于A，因在上单调递减，且，
因为，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理以及三角形中大边对大角，
所以若，则，则，故B正确；
对于C，，由余弦定理可得，所以，
所以为直角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，又，所以，
所以或（舍去），
所以为等腰三角形，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】根据，有，可判断A选项；根据，得，可判断B选项；根据向量减法三角形法则有，分别求出，，有，反向时取得最大值，根据向量的几何意义判断C选项；根据，得，又，可计算，从而判断D选项.
【详解】若，则，解得，A正确；
若，则，解得， 所以，B错误；
因为，，而，
当且仅当，反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量，的起点为
坐标原点，向量的终点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上，向量
终点在第二象限，当，反向，则向量的终点应在第四象限，
此时，，所以C正确；
若，则，
即，所以，
，
所以，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据平面向量的坐标运算求出的坐标，再根据可知，再利用数量积的坐标运算建立关于的方程，求解方程，即可得到结果.
【详解】由题意可知，
又，所以，
即，所以。
故答案为：.
13．
【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系，
则，设，
故，
所以，
则当时，取得最小值.

故答案为：.
14．
【分析】由三角形的面积公式和向量的数量积运算求得，再由A的范围求得角A的余弦和正弦，由余弦定理可求得答案.
【详解】的面积为4，，，所以，所以，
又，所以，，，
又，由余弦定理得，所以.
故答案为: .
【点睛】本题考查了平面向量的数量积、三角形的面积公式和余弦定理，属于中档题.
15．(1)
(2);
【分析】（1）根据复数的乘法结合纯虚数的概念可解得答案；
（2）根据复数除法运算法则先求得复数，然后可求得．
【详解】（1），，
又为纯虚数，且，解得，
；
（2），．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.
【详解】（1）由余弦定理得，
因为，所以．
（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，，由正弦定理得，则．
的面积，
由，得．
17．(1)3
(2)
【分析】（1）由题可知：，再利用数量积的运算律求解即可；
（2）利用向量在向量上的投影向量为求解即可.
【详解】（1）由题可知：，
则.
（2）
记与的夹角为，
则向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解.
【详解】（1）若选①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
.
若选②
，
，，
，.
若选③
，
，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
，.
（2）,
，
，，
，，
即，所以△ABC周长的取值范围.
19．(1)
(2)预算资金够用
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【详解】（1）解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．