专题03 分式及其运算-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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1.了解分式和最简分式的概念；
2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；
3.能进行简单的分式加、减、乘、除法运算．
分式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续重视对分式的有关概念、分式的性质和分式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
►考向一 分式有意义的条件
1．（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
2．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是 ．
3．（2022•南京）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
►考向二 分式的值为零的条件
4．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．0或1
5．（2023•常州）若代数式的值是0，则实数x的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
6．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣3
►考向三 分式的值
7．（2022•百色）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
8．（2022•湖州）当a＝1时，分式的值是 ．
9．（2022•福建）已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于 ．
►考向四 分式的乘除法
10．（2023•河北）化简的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
11．（2022•德阳）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．＝1
C．a÷a•＝aD．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
►考向五 分式的加减法
12．（2023•广东）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023•河南）化简的结果是（ ）
A．0B．1C．aD．a﹣2
14．（2023•温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
﹣．
►考向六 分式的混合运算
15．（2023•济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．﹣B．C．﹣3D．2
16．（2023•绥化）化简：（﹣）÷＝ ．
17．（2023•襄阳）化简：（1﹣）÷．
►考向七 分式的化简求值
18．（2023•武汉）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
19．（2023•衡阳）已知x＝5，则代数式﹣的值为 ．
20．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．
►考向八 零指数幂与负整数指数幂的运算
21．（2023•攀枝花）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1B．﹣10＝0C．﹣10＝1D．﹣10无意义
22．（2023•绥化）计算|﹣5|+20的结果是（ ）
A．﹣3B．7C．﹣4D．6
23．（2023•重庆）计算：2﹣1+30＝ ．
1．（2020•随州）÷的计算结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（ ）
A．1B．C．D．
3．（2023•南充）若＝0，则x的值为 ．
4．（2023•上海）化简：﹣的结果为 ．
5．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 ．
6．（2023•大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 ．
7．（2023•湖北）计算：＝ ．
8．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
9．（2023•扬州）计算：
（1）（2﹣）0﹣+tan60°； （2）÷（b﹣a）．
10．（2023•通辽）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
（2023•青岛）（1）解不等式组：；
计算：（m﹣）•．
（2023•绵阳）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
先化简，再求值：，其中．
13．（2023•丹东）先化简，再求值：
，其中．
知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）
考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 分式有意义的条件
►考向二 分式的值为零的条件
►考向三 分式的值
►考向四 分式的乘除法
►考向五 分式的加减法
►考向六 分式的混合运算
►考向七 分式的化简求值
►考向八 零指数幂与负整数指数幂的运算
最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）
分式的概念
1.分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
【注意】A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
3.分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
4.分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
5.分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
分式有意义的条件
1.分式有意义的条件是分母不等于零．
2.分式无意义的条件是分母等于零．
3.分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
4.分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
分式的基本性质及其运用
1.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
2.分式的约分和通分
（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
3.分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
4.分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
分式的加减法
1.同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
2.异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
（1）分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
（2）通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
分式的混合运算
1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
3.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
解题技巧/易错易混/特别提醒
分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母．
解题技巧/易错易混/特别提醒
分式的意义：
（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
解题技巧/易错易混/特别提醒
应用完全平方公式时，要注意：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
解题技巧/易错易混/特别提醒
分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
解题技巧/易错易混/特别提醒
有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.
解题技巧/易错易混/特别提醒
1.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
2．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
解题技巧/易错易混/特别提醒
1．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
2．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
解：原式＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
……