专题04 二次根式-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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1.了解二次根式、最简二次根式的概念；
2. 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算；
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围．
二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握.
►考向一 二次根式有意义的条件
1．（2023•江西）若有意义，则a的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．6
2．（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠2
3．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
►考向二 二次根式的性质与化简
4．（2023•泰州）计算等于（ ）
A．±2B．2C．4D．
5．（2023•台湾）化简的结果为下列何者（ ）
A．3B．C．D．
6．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝ ．
►考向三 二次根式的乘除法
7．（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a≤0，b≤0D．a≥0，b≥0
8．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A．×＝±2
B．（m+n）2＝m2+n2
C．﹣＝﹣
D．3xy÷＝﹣
9．（2023•益阳）计算：＝ ．
►考向四 分母有理化
10．（2023•阜新）在下列计算中，正确的是（ ）
A．5+（﹣6）＝﹣1B．C．3×（﹣2）＝6D．sin30°＝
11．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cs45°．
►考向五 同类二次根式
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2020•上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．6B．C．D．
►考向六 二次根式的加减法
14．（2023•内蒙古）下列运算正确的是（ ）
A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6
C．+＝D．÷＝
15．（2023•十堰）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
16．（2023•哈尔滨）计算的结果是 2 ．
►考向七 二次根式的混合运算
17．（2023•青岛）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
19．（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．
►考向八 二次根式的化简求值
20．（2023•河北）若，，则＝（ ）
A．2B．4C．D．
21．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是 ．
►考向九 二次根式的应用
22．（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
23．（2023•常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：≈4.58）．
1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．2
2．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023•上海）下列运算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a3B．a3+a3＝a6C．（a3）2＝a5D．＝a
4．（2020•荆州）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A．B．﹣1C．D．
（多选）5．（2021•潍坊）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝
C．＝D．＝2
6．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
7．（2023•西宁）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）
A．7B．4C．3D．3﹣2
9．（2023•常德）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 ．
10．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
11．（2022•山西）计算：×的结果为 ．
12．（2023•杭州）计算：＝ ．
13．（2023•盘锦）计算：﹣＝ ．
14．（2022•荆州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝ ．
15．（2023•陕西）计算：．
16．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2
＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]
＝（2a+）•
＝b+2a
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝ ，S4﹣S3＝ ；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）
考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 二次根式有意义的条件
►考向二 二次根式的性质与化简
►考向三 二次根式的乘除法
►考向四 分母有理化
►考向五 同类二次根式
►考向六 二次根式的加减法
►考向七 二次根式的混合运算
►考向八 二次根式的化简求值
►考向九 二次根式的应用
最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）
二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
二次根式的基本性质
1.≥0； a≥0（双重非负性）．
2.（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
3.＝|a|＝（算术平方根的意义）
二次根式的化简
1.二次根式的化简：
（1）利用二次根式的基本性质进行化简；
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
2.化简二次根式的步骤：
（1）把被开方数分解因式；
（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2.最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、 、 、 等．
二次根式的乘除法
1.积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
3.商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
同类二次根式
1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2.同类二次根式的理解：同类二次根式类似于整式中的同类项．几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2.合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
二次根式的加减法
1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
2.步骤：
（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
（3）合并被开方数相同的二次根式．
3.合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
解题技巧/易错易混/特别提醒
①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
②如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
解题技巧/易错易混/特别提醒
（1）把被开方数分解因式(或因数) ；
（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(eq \r(a))2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
解题技巧/易错易混/特别提醒
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
解题技巧/易错易混/特别提醒
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
解题技巧/易错易混/特别提醒
常见二次根式化简求值的九种技巧
一、估算法
二、公式法
三、拆项法
四、换元法
五、整体代入法
六、因式分解法
七、配方法
八、辅元法
九、先判后算法