专题06 一次二次方程-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；
4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右，预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，为避免丢分,学生应扎实掌握。
►考向一 一元二次方程的解
1．（2023•绵阳）若x＝3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（ ）
A．＜a＜1B．1＜a＜C．＜a＜2D．2＜a＜
【思路点拨】将方程的根代入方程，解关于a的一元二次方程并估值即可．
【规范解答】解：将x＝3代入方程得，
9﹣5a﹣a2＝0，
解得，
又a＞0，
所以a＝．
又因为7＜＜8，
所以2＜＜3，
，
即1＜a＜．
故选：B．
【真题剖析】本题考查一元二次方程的解，能正确解出关于a的一元二次方程及对求出的a进行估值是解题的关键．
2．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 2019 ．
【思路点拨】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
【规范解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案为：2019．
【真题剖析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．
①若，则x2＝ 18 ；
②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 7 个．
【思路点拨】①把m＝，x1＝9代入求值即可；
②由题意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，则4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三种情况讨论即可．
【规范解答】解：①把m＝，x1＝9时，（×9﹣2）×（x2﹣2）＝4，
解得：x2＝18；
故答案为：18．
②当m，x1，x2为正整数时，
（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，
而4＝1×4＝2×2＝4×1，
∴或或，
∴或或，
当时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2，
故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个；
当时，m＝1时，x1＝4，x2＝4；m＝2时，x1＝2，x2＝2，m＝4时，x1＝1，x2＝1，
故（x1，x2）为（4，4），（2，2），（1，1），共3个；
当时，m＝1时，x1＝6，x2＝3；m＝3时，x1＝2，x2＝1，
故（x1，x2）为（6，3），（2，1），共2个；
综上所述：共有2+3+2＝7个．
故答案为：7．
【真题剖析】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
►考向二 解一元二次方程-直接开平方法
4．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（ ）
A．9B．﹣3C．6+D．﹣6+
【思路点拨】先利用直接开平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后计算代数式2a+b的值．
【规范解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
所以x1＝2+，x2＝2﹣，
即a＝2+，b＝2﹣，
所以2a+b＝4+2+2﹣＝6+．
故选：C．
【真题剖析】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
5．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【思路点拨】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【规范解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
【真题剖析】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解，本题直接开方求解即可．
►考向三 解一元二次方程-配方法
6．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
【思路点拨】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【规范解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
7．（2022•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；
（2）解不等式组：．
【思路点拨】（1）用配方法解方程即可；
（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．
【规范解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，
∴（x+3）2＝10，
∴x+3＝或x+3＝﹣，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3；
（2）解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【真题剖析】本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．
8．（2022•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：．
【思路点拨】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【规范解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
【真题剖析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．
►考向四 解一元二次方程-公式法
9．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】利用公式法即可求解．
【规范解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x＝＝，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为．
故选：D．
【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
10．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
【思路点拨】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【规范解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝＝＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，
故选：D．
【真题剖析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
►考向五 解一元二次方程-因式分解法
11．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（ ）
A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6
【思路点拨】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【规范解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1，
①x1＝3，x2＝﹣1时，＝3，
②x1＝﹣1，x2＝3时，＝﹣9，
故选：A．
【真题剖析】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．
12．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为 x1＝1，x2＝ ．
【思路点拨】方程利用因式分解法求出解即可．
【规范解答】解：2x2+1＝3x，
2x2﹣3x+1＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
故答案为：x1＝1，x2＝．
【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键．
13．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“＜”或“＞”填空：a ＜ b，ab ＜ 0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．
【思路点拨】（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；
（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【规范解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，
∴a＜b，ab＜0．
故答案为：＜，＜．
（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，
Δ＝22﹣4×1×（﹣1）
＝4+4
＝8，
∴x＝
＝
＝
＝﹣1±．
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0．
∴x1＝0，x2＝3；
③利用配方法：x2﹣4x＝4，
两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，
∴（x﹣2）2＝8．
∴x﹣2＝±2．
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；
④利用因式分解法：x2﹣4＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0．
∴x1＝﹣2，x2＝2．
【真题剖析】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关键．
►考向六 配方法的应用
14．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ﹣2 ．
【思路点拨】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．
【规范解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3
＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3
＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3
＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3
＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3
＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2
＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，
∵x，y均为实数，
∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，
∴原式W≥﹣2，
即原式的W的最小值为：﹣2，
解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，
∵x为实数，
∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，
即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，
∴W≥﹣2，
∴W的最小值为：﹣2，
故答案为：﹣2．
【真题剖析】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．
15．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．
【思路点拨】根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．
【规范解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
【真题剖析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出m和n的值是解题的关键．
►考向七 根的判别式
16．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．m＞3C．m≤3D．m＜3
【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
【真题剖析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
17．（2023•鞍山）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣ ．
【思路点拨】根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝32﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣．
故答案为：a＞﹣．
【真题剖析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
18．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 k＜1 ．
【思路点拨】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【规范解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【真题剖析】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k＞0是解题的关键．
►考向八 根与系数的关系
19．（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k≤C．k＜且k≠0D．k≤且k≠0
【思路点拨】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，
解得k≤，
∴k的取值范围是k≤且k≠0，
故选：D．
【真题剖析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
20．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝ 3 ．
【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，
∴m＞2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，
∵x1+x2+x1•x2＝2，
∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，
解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
【真题剖析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
21．（2023•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
【思路点拨】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由+＝﹣进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
【规范解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
【真题剖析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
►考向九 一元二次方程的应用
22．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 1501（1+x）2＝1815 ．
【思路点拨】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．
【规范解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，
故答案为：1501（1+x）2＝1815．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
23．（2023•牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 20% ．
【思路点拨】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
【规范解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【思路点拨】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【规范解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
【思路点拨】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．
【规范解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，
故选：B．
【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2
【思路点拨】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【规范解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
【真题剖析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5mB．70mC．5m或70mD．10m
【思路点拨】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故选：A．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023•镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝ 5 ．
【思路点拨】把x＝1代入原方程得到1+m﹣6＝0，然后解一次方程即可．
【规范解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，
解得m＝5．
故答案为：5．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ﹣4 ．
【思路点拨】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2+4m＝0，然后解不等式即可．
【规范解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2+4m＝0，
解得m＝﹣4，
即m的值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【真题剖析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 1000（1+x）2＝1440 ．
【思路点拨】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
【规范解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440，
故答案为：1000（1+x）2＝1440．
【真题剖析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2023•巴中）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【思路点拨】（1）根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
（2）根据不等式组的解法解不等式组即可；
（3）根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可．
【规范解答】解：（1）|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2
＝2﹣3+3﹣4×+2
＝2﹣2+2
＝2；
（2）解不等式①得，x＜2；
解不等式②得，x≥﹣3，
∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜2；
（3）（+x﹣1）÷
＝
＝x+1，
解方程x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
∵x2（x+1）2≠0，
∴x≠0，x≠﹣1，
∴x＝3，
∴原式＝3+1＝4．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．
9．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【思路点拨】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【规范解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【真题剖析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
10．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
【思路点拨】（1）方程利用公式法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【规范解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，
∴x＝＝，
∴，；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．
【真题剖析】本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
11．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．
【思路点拨】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据（1）中不等式的解集得出m的一个值，求出x的值即可．
【规范解答】解：（1）由①得，x＜4，由②得，x＞1，
故不等式组的解集为：1＜x＜4；
（2）由（1）知1＜x＜4，
∴令m＝2，
则方程变为x2﹣2x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（答案不唯一）．
【真题剖析】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出x的取值范围是解题的关键．
12．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
【思路点拨】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
【规范解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
【真题剖析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
13．（2023•盐城）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a＞b＞0，M＝，N＝，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较x2+1与2x﹣1的大小．
小华：∵（x2+1）﹣（2x﹣1）＝x2+1﹣2x+1＝（x﹣1）2+1＞0，
∴x2+1＞2x﹣1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
（2）比较大小： ＜ ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【思路点拨】（1）根据“作差法”比较整式的大小即可得到结论；
（2）根据“作差法”即可得到结论．
【规范解答】解：（1）M﹣N＝﹣＝＝＝，
∵3a＞b＞0，
∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0，
∴＞0，
∴M＞N；
（2）﹣＝＝﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
【真题剖析】本题考查了配方法的应用，有理数大小的比较，熟练掌握“作差法”是解题的关键．
14．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【思路点拨】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
【真题剖析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
15．（2023•通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ﹣ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
【思路点拨】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝﹣，st＝﹣，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入＝中，即可求出结论．
【规范解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
【真题剖析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
16．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【思路点拨】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【规范解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键
知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）
考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 一元二次方程的解
►考向二 解一元二次方程-直接开平方法
►考向三 解一元二次方程-配方法
►考向四 解一元二次方程-公式法
►考向五 解一元二次方程-因式分解法
►考向六 配方法的应用
►考向七 根的判别式
►考向八 根与系数的关系
最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）
一元二次方程
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
一元二次方程的解
1.一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这是一元二次方程（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
，．
直接开平方法
形如或（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
配方法
1.将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2.用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
公式法
1.把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程（a≠0）的求根公式．
2.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
3.用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出的值（若，方程无实数根）；
③在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：
①a≠0；②．
因式分解法
1.因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（）判断方程的根的情况．
一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
一元二次方程根的情况与判别式的关系
1.当时，方程有两个不相等的实数根；
2.当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
3.当时，方程没有实数根．
根与系数关系
1.若二次项系数为1，常用以下关系：是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，反过来也成立，即，．
3.常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
增长率等量关系
1.增长率=增长量÷基础量．
2.设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
利润等量关系
1.利润=售价－成本．
2.利润率=×100％．
面积问题
1.类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
2.类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
3.类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
碰面问题（循环问题）
1.重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=n（n－1）
2.不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=n（n－1）
解题技巧/易错易混/特别提醒
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解
解题技巧/易错易混/特别提醒
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法
形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法
可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法
利用求根公式：
解题技巧/易错易混/特别提醒
1.当时，方程有两个不相等的实数根；
2.当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
3.当时，方程没有实数根．
解题技巧/易错易混/特别提醒
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．