专题17 锐角三角函数与解三角形问题（8类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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目录一览
1. 探索并认识锐角三角函数(sin A，cs A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．
该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用.有时比较简单，有时难点较大不易得分，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
►考向一 同角三角函数的关系
1．（2023•大连模拟）下列选项中是有理数的是：（ ）
①2cs245°﹣sin60°•tan60°；
②sin215°+cs215°﹣π；
③sin45°+π；
④sin90°+（π﹣3）0+12023；
⑤．
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
2．（2023•封丘县模拟）计算：
（1）；
（2）sin245°+cs245°+tan30°tan60°﹣cs30°．
►考向二 互余两角三角函数的关系
3．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）
A．sinA＝sinBB．sinA＝csBC．tanA＝tanBD．csA＝tanB
4．（2023•兰山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+csB的值为 ．
►考向三 相似三角形的判定与性质
5．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
6．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．
（2）解不等式组：
7．（2022•张家界）计算：2cs45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
►考向四 解直角三角形
8．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm．
10．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
►考向五 解直角三角形的应用
11．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则csα的值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023•广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
13．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下．如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龙”字雕塑CD的高度．B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到
0.1m）（参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
►考向六 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
14．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米B．32cs25°米
C．米D．米
15．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
19．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cs27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）
►考向七 解直角三角形的应用-仰角俯角问题
20．（2023•黄石）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为 米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）
21．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cs21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．
22．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
►考向八 解直角三角形的应用-方向角问题
23．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
24．（2023•潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
25．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cs68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cs56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）
1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣csα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
A．58JB．159JC．1025JD．1732J
2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（ ）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
A．31mB．36mC．42mD．53m
3．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则csA的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则csA等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•道县校级模拟）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cs30°＝
7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（ ）
A．米B．米C．x•sinα米D．x•csα米
9．（2023•娄星区校级一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则csA＝ ．
10．（2022•荆门）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝ ．
11．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝ ．
12．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为 ．
13．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cs20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 km（结果保留π）．
14．（2023•城西区校级二模）阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα＝ csα＝ tanα＝
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cs30°﹣cs45°•sin30°
＝
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝ ；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．
15．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
16．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；
（2）解不等式组：
17．（2022•潍坊）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
＝
＝
＝﹣2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；
④ ＝； ．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
18．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．
19．（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
20．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
21．（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：sin16.7°≈0.29，cs16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
22．（2023•襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．
23．（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
（1）填空：∠AMB＝ 度，∠BCM＝ 度；
（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．
24．（2023•内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．
25．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．
（1）求∠COD的大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 同角三角函数的关系
►考向二 互余两角三角函数的关系
►考向三 相似三角形的判定与性质
►考向四 解直角三角形
►考向五 解直角三角形的应用
►考向六 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
►考向七 解直角三角形的应用-仰角俯角问题
►考向八 解直角三角形的应用-方向角问题
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解题技巧/易错易混
1.分清直角三角形中的斜边与直角边.
2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．
3.正确应用勾股定理求第三边长．
4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．
5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.
解题技巧/易错易混
1.解直角三角形的应用此类题的一般方法：
（1）构造直角三角形；
（2）理清直角三角形的边角关系；
（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.
2.解直角三角形应用题应注意的问题：
（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．