河南省新乡市2024届高三一模数学试卷(含答案)

这是一份河南省新乡市2024届高三一模数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．若集合，集合，则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，，若，则( )
A.4B.C.D.
4．，，则( )
A.B.C.D.
5．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d()的概率为.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为( )
(参考数据：，)
A.2.9B.3.2C.3.8D.3.9
6．已知等比数列的前n项积为，若，则( )
A.512B.256C.64D.16
7．已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以P为球心的球与底面相切，则该球的半径为( )
A.B.C.D.
8．已知定义在R上的函数满足，，，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是( )
A.这10个月的月销售量的极差为15
B.这10个月的月销售量的第65百分位数为33
C.这10个月的月销售量的中位数为30
D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
10．若，，，则下列不等式恒成立的是( )
A.B.C.D.
11．已知F是抛物线的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，点，且，则( )
A.直线的方程为B.直线的方程为
C.D.
12．已知，关于x的方程有n个不同的根，，且m为最大的根，则( )
A.n的值可能为100B.当时，
C.当时，D.当时，
三、填空题
13．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为______.
14．已知O为坐标原点，点P在圆上，且，则a的取值范围为______.
15．已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有______个.
16．已知A，B分别是双曲线，的左、右顶点，且，P为C上一点，，则点P到x轴的距离为______.
四、解答题
17．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C；
(2)若D为边上一点，且，求的值.
18．某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望.
19．如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，O为的中点，P为上一动点
(1)当平面时，求的值；
(2)在(1)的条件下，求与平面所成角的正弦值
20．已知是数列的前n项和，.
(1)若数列为等差数列，求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
21．A，B分别是椭圆的左、右顶点，，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点，且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点.设直线，交于点K,，证明：点K到y轴的距离为定值.
22．已知函数.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)已知，是的两个零点，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，所以该复数对应的点为，该点在第四象限.
故选：D.
2．答案：B
解析：，，
故.
故选：B.
3．答案：D
解析：由，可得，即，所以.
故选：D.
4．答案：A
解析：由，得，即，而，
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：依题意一个数的首位数字是1的概率为，一个数的首位数字是5的概率为，
所求的比为
.
故选：C.
6．答案：C
解析：设等比数列的公比为q，
因为，所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：设球的半径为r，由题可知，，
所以，解得.
故选：B.
8．答案：A
解析：令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A.
9．答案：AB
解析：将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10个月的月销售量的极差为15，故A正确；
根据百分位数的定义可知，，
则这10个月的月销售量的第65百分位数为第七个数33，故B正确；
这10个月的月销售量的中位数为，故C错误；
结合图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，
所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误；
故选：AB.
10．答案：BCD
解析：，，，即，当且仅当时，等号成立，所以A错误；
，当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
，，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：设，，抛物线的准线，，
则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，
则线段的中点到准线l的距离为，
所以以为直径的圆与准线l相切，
所以的中点的纵坐标为1，即，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
则线段的中点坐标为，
所以.
故选：AD.
12．答案：BC
解析：令，由题意方程有n个不同的根，
则的图象与的图象有n个不同的交点，
因为的图象与的图象都关于对称，所以n不可能为偶数，故A错误；
当时，方程有1个不同的根，则直线与只有一个交点，
当直线为在处相切时，，则，即，
所以曲线在处的切线方程为，
如图：
要使直线与只有一个交点，则，故B正确；
当时，经过点，因为是的极大值点，
如图：
由图知，直线与有7个交点，所以方程有7个不同的根，
即，故C正确；
当时，则的图象与的图象有5个不同的交点，
可知与曲线相切，且切点的坐标为，如图：
则，故，所以，即，故D错误.
故选：BC.
13．答案：
解析：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，
则圆锥底面圆面积为，周长为，高为，
可得，解得，，
所以该圆锥的表面积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：可化为，由，可知点P圆上，所以问题等价于圆与圆C交点，所以，解得或.
故答案为：.
15．答案：66
解析：若的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个，
若的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个，
若的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个，
故共有66个符合条件的不同数列.
故答案为：66.
16．答案：
解析：设，点P到x轴的距离为m，
则，
又因为，所以，
所以，
解得，所以点P到x轴的距离为.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)依题意，，由正弦定理可得，
所以，
所以，
则，因为，所以，化简得，
因为，所以.
(2)不妨设，则，因为，，所以为等边三角形，
则，，由余弦定理得，
所以，解得或(舍去)，所以.
18．答案：(1)
(2)分布列见解析，期望为
解析：(1)因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即，
所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为.
(2)由题意得，，，.
随机变量X可取0，1，2，3，4，
则，，，
，.
所以随机变量X分布列如下：
所以.
19．答案：(1)1
(2)
解析：(1)连接并延长交于的反向延长线与S，连接，
因为平面，平面，平面平面，
故.
而，故，，而，
故，故，故，故.
(2)取的中点F，连接，则，
因为平面平面，平面交平面于，所以平面.
又因为为正三角形，所以，
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，即.
因为，当时，，
两式相减得，
所以，两式相减得.
因为数列为等差数列，所以数列的公差，
又，所以，
则，即数列的通项公式为.
(2)因为，所以，
由(1)可知，所以，
，
.
21．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题可知，解得
所以椭圆C的标准方程为.
(2)设直线l的方程为，
联立C的方程，消去y得.
其中，
即，
设，，则，，
，又，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
.
又，，
即点K到y轴的距离为定值1.
22．答案：(1)在上单调递减
(2)证明见解析
解析：(1)，
令，则，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，即，所以在上单调递减.
(2)由，可得，不妨设，
则，整理得，
要证，即证，即证，
即证在上为单调递增函数，
则，设，
则，令，解得，
则当，；当，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以在上为单调递增函数，则.
X
0
1
2
3
4
P