河南省郑州市2024届高三毕业班第一次质量预测（一模）数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市2024届高三毕业班第一次质量预测（一模）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若，则( )
A.B.C.D.
2．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
3．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．若函数满足，则( )
A.0B.1C.2D.-1
5．已知数列为等差数列，，，则( )
A.19B.22C.25D.27
6．已知抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，点M为抛物线与椭圆的公共点，且轴，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在上的值域为，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．溶液酸碱度是通过来计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7.当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是( )(参考数据：取)
A.若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B.若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是
C.若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是
D.若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用
10．掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2.则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
11．如图，在长方体中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．在平面直角坐标系中，，动点P满足，得到动点P的轨迹是曲线C.则下列说法正确的是( )
A.曲线C的方程为
B.若直线与曲线C有公共点，则k的取值范围是
C.当O，A，P三点不共线时，若点，则射线平分
D.过曲线C外一点作曲线C的切线，切点分别为M，N，则直线过定点
三、填空题
13．已知，则______.
14．2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕.世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办.本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标.现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨.为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作.现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有______种.(用数字作答)
15．已知是正四面体的外接球的一条直径，点P在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为______.
16．，不等式恒成立，则正实数a的最大值是______.
四、解答题
17．某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的p值，并计算得到其平均数，中位数，随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的值，并绘制成如下的频率分布直方图.
(1)求乙生产线的产品指标p值的平均数与中位数y(每组值用中间值代替，结果精确到0.01)，并判断乙生产线较甲生产线的产品指标p值是否更好(如果，则认为乙生产线的产品指标p值较甲生产线的产品指标p值更好，否则不认为更好).
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标p值不小于70的产品个数用X表示，求X的数学期望与方差.
18．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的值；
(2)若点D满足，且，求的值.
19．如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知正项数列满足，，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入个数，，，…，，使得，，，，…，，成等差数列，设数列，求数列的前n项和.
21．已知点A是双曲线的上顶点.
(1)若点B的坐标为，延长交双曲线于点D，求点D的坐标；
(2)双曲线C与直线有唯一的公共点P，过点P且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于，两点，当点P运动时，求点的轨迹方程.
22．设函数.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：，
，
故选：C.
2．答案：A
解析：因为，
则，，
因为全集，所以，或，
所以，A正确；，B错误；
，C错误；或，D错误，
故选：A.
3．答案：D
解析：向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
4．答案：A
解析：由两边分别求导得：，
当时，，
所以.
故选：A.
5．答案：A
解析：根据等差数列性质，由，可得，，
所以可得，，
又可得，
所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：设椭圆的右焦点为，
抛物线的焦点为，
椭圆的左焦点为，
由题意可得，所以，
将代入抛物线方程解得，
所以，
由椭圆的定义可得，所以，
在中，由勾股定理得，
即，即，
所以，解得(舍去)，
即椭圆的离心率为.
故选：C.
7．答案：B
解析：由及可得，
根据其值域为，且，
由正弦函数图象性质可得，
即可得，解得.
故选：B.
8．答案：D
解析：，，，
令，，
，
因为，所以，
令，，在上恒成立，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，即，
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A，若苏打水的是8，即，所以，
即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确；
对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是，
因此，即海水的是，所以C正确；
对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则；
而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；
故选：ABC.
10．答案：CD
解析：由题意，，基本事件的总数为6，
则，故A错误；
事件表示掷出的点数为偶数且不大于2，则，
事件表示掷出的点数为奇数且大于2，则，
所以，故B错误；
事件表示掷出的点数为偶数且大于2，则，
事件表示掷出的点数为奇数且不大于2，则，
所以，故C正确；
，，
所以，故D正确.
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：对于A，由长方体性质可得，，
平面，平面，
平面，同理，平面，
又平面，且，
所以平面平面，又平面，
平面.故A正确；
对于B，由A选项，平面，所以点P到平面的距离和点到平面的距离相等，
则.故B正确；
对于C，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球半径为r，
所以，所以外接球的表面积为.故C错误；
对于D，因为平面，连接，，则直线与平面所成角即，
在中，，当最小时，最大，，
此时，，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为.故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：对于A，设点，则由，可得，化简可得，故A正确；
对于B，曲线C的方程为，圆心为，半径为，直线，即，
若直线与曲线C有公共点，则圆心到直线的距离，
解得或，则k的取值范围是，故B错误；
对于C，当O，A，P三点不共线时，，则，
，，则，所以，
所以由角平分线定理的逆定理知射线平分，故C正确；
对于D，设曲线C外一点，因为，，所以M，N在以为直径的圆上.
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆方程为
化简得：，
因为两圆的公共弦，所以直线的方程为，
即，令，解得，则直线过定点，故D正确.
故选：ACD.
13．答案：/
解析：由可得，
所以，
即.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种，
其中甲、乙都不参与的选派方式共有种，
其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种，
所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种.
故答案为：.
15．答案：
解析：如下图所示：
设A点在平面内的摄影为E，F为的中点，易知E在上，且平面；
又正四面体的棱长是2，所以可得，
在正中，由勾股定理可得；
设外接球半径为R，则可知，
即，解得；
易知，
又因为是外接球的一条直径，所以，且；
因此，
易知，
所以，；
因此可知的取值范围为.
故答案为：.
16．答案：
解析：将不等式变形可得，
即，
构造函数，可得；
令，则；
所以当时，，即在上单调递减；
当当时，，即在上单调递增，
所以，即，所以函数在上单调递增，
利用单调性并根据可得，
即可得，即对恒成立，因此即可；
令，则，
显然当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即，
因此正实数的最大值是.
故答案为：.
17．答案：(1)，，乙生产线较甲生产线的产品指标P值更好
(2)，
解析：(1)，
因为，
所以中位数在区间上，
则，解得，
即中位数，
因为，
所以乙生产线较甲生产线的产品指标P值更好；
(2)指标P值不小于70的概率为，
由题意可得，
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由以及可得
，
即，
可得，又，
所以，即，
可得，又,
解得.
(2)如下图所示：
由可得，，，；
在中，由正弦定理可得，即，
由可得，
化简可得，整理可得，
所以.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)不妨设，则，
在平行四边形中，，，，连接，
由余弦定理得，即，
，.
又，，，
平面，又平面.
平面平面.
(2)
取中点G，连接，，，
由(1)易知平面，且.
如图，以A为原点，分别以射线，所在直线为x，y轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
得，令，得，
设平面的法向量为，则，
得，令，得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由可得，即，
又数列各项为正，且，可得，即；
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
即；
又，所以，
两式相减可得，
所以；
当时，也符合上式，故；
所以数列和的通项公式，；
(2)设等差数列，，，，…，，的公差为，
则，；
所以；
可得，
；
两式相减可得
；
所以.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得，
故直线方程为，即，
联立与得，
由韦达定理得，解得，
故，则点D的坐标为；
(2)联立与得，
，
，由，解得，则，
又，，
故，由题可知，
过点P且与l垂直的直线方程为，即，
令得，令得，
因为，所以，故，显然，
代入中得，
化简得，即；
22．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
解析：(1)由题意可知函数的定义域为R，且为偶函数，
首先研究时，，
又，所以，
令，则，因此在上单调递增；
所以，即可得，
因此在上单调递增；
所以，
又为偶函数，可得时，也成立；
因此.
(2)由(1)可知，当时，，
即，当且仅当时，等号成立；
令，且，可得，
即，
由(1)可得，当时，；
又且，所以，
可得，即，也即，
所以可得
，
即可得.