青海省西宁市大通县2024届高三下学期二模考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市大通县2024届高三下学期二模考试数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．设集合,,若,则( )
A.-2B.-1C.1D.3
3．已知直线与直线平行,则m的值为( )
A.4B.-4C.2或-4D.-2或4
4．已知m,n,p,,且数列是等比数列,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5．已知D是的边上一点,若,,则( )
A.B.0C.D.
6．将函数的图象向右平移个单位长度,得到的函数图象关于y轴对称,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．在某电路上有M,N两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换M元件的概率为0.3,需要更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M,N有且只有一个需要更换的条件下,M需要更换的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知,,则( )
A.B.C.D.
9．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则的值为( )
A.B.C.D.
10．17世纪,在研究天文学的过程中,为了简化大数运算,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算,数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知,,设,则N所在的区间为( )
A.B.C.D.
11．已知椭圆的左顶点､上顶点分别为A,B,右焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与直线交于点E,若直线的斜率小于,O为坐标原点,则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．在棱长为4的正方体中,E是的中点,F是上的动点,则三棱锥外接球半径的最小值为( )
A.3B.C.D.
二、填空题
13．若实数x,y满足约束条件则的最大值为__________.
14．已知双曲线的一条渐近线平行于直线,且双曲线的一个焦点在直线l上,则该双曲线的方程为__________.
15．展开式的常数项为__________.
16．记是不小于x的最小整数,例如,,,则函数的零点个数为__________.
三、解答题
17．只要骑车,都应该戴头盔.骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障.骑行过程中的摔倒会对头部造成很大的损害,即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行,也同样不可忽视安全问题.佩戴头盔的原因很简单也很重要——保护头部,减少伤害.相关数据表明,在每年超过500例的骑车死亡事故中,有的死亡原因是头部受到致命伤害造成的.医学研究发现,骑车佩戴头盔可防止的头部受伤,并且大大减小了损伤程度和事故死亡率.
某市对此不断进行安全教育,下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口的骑电动车不戴头盔的人数的统计数据：
（1）求不戴头盔人数y与年份序号x之间的线性回归方程;
（2）预测该路口2024年不戴头盔的人数.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,
18．已知数列的前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）若数列,求数列的前n项和.
19．如图,在直三棱柱中,,,点D是棱上的一点,且,点E是棱的中点.
（1）求证：平面平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．在平面直角坐标系中,已知点是抛物线上的一点,直线l交C于A,B两点.
（1）若直线l过C的焦点,求的值;
（2）若直线,分别与y轴相交于M,N两点,且,试判断直线l是否过定点？若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
21．已知函数.
（1）若,求函数的图象在处的切线方程;
（2）若对任意的恒成立,求a的取值范围;
（3）求证：,.
22．在直角坐标系中,曲线C的参数方程为（为参数）,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标,直线l的极坐标方程为.
（1）求C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
（2）若点p的直角坐标为,直线l与C交于A,B两点,求的值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若函数的最小值为m,且正数a,b,c满足,求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为复数,所以z对应的点为,位于第二象限.故选B.
2．答案：C
解析：由已知得,若,解得,此时,,符合题意;
若,解得,此时,,不符合题意;
若,解得,此时,,不符合题意,
综上所述：.故选C.
3．答案：B
解析：因为直线与直线平行,所以,解得或.
当时,直线与直线重合,不符合题意;
当时,直线与直线平行,符合题意.综上,.
故选B.
4．答案：B
解析：设等比数列的公比为.若,
当,,,时,,但是,所以“”不是“”的充分条件;
若,则,所以,所以“”是“”的必要条件.综上,“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
5．答案：C
解析：因为,所以.
所以,,.
故选：C.
6．答案：A
解析：将函数的图象向右平移个单位长度得,
又的图象关于y轴对称,所以,解得,当-1时,取得最小值.
故选：A.
7．答案：A
解析：记事件A为在某次通电后M､N有且只有一个需要更换,事件B为M需要更换,
则,
由条件概率公式可得.
故选:A.
8．答案：C
解析：因为,又,
所以.
故选：C.
9．答案：B
解析：因为,所以,
即,因为,则,且余弦函数在上单调递减,所以,所以,又,所以,
由正弦定理得,即,所以.
故选：B.
10．答案：D
解析：因为,
所以
,所以.
故选：D.
11．答案：D
解析：由已知得,直线的方程为,设椭圆的焦距为,由题意设点,
则,即,所以,又,
所以,即,设直线的斜率与直线的斜率之比值为m,
则,又,所以.
故选：D.
12．答案：C
解析：连接,取中点G,设,连接,过G作垂直于平面,
设,O为三棱锥的外接球的球心.以D为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,则球半径,
所以,所以,则,
当且仅当时取等号,所以.
故选：C.
13．答案：13
解析：实数x,y满足约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.当直线经过点A时,z取得最大值.由解得,,所以.
14．答案：
解析：由题意可知,双曲线的其中一条渐近线与直线平行,所以,
又双曲线的一个焦点在直线l上,所以,又,解得,
所以该双曲线的方程为.
15．答案：48
解析：因为的展开式的通项是,所以所求常数项为.
16．答案：3
解析：令,则,令,则与的交点个数即为的零点个数,当时,,
又,所以是周期为1的函数,在R上单调递减,且,,,所以可作出与的图象如图,
所以与有3个交点,故的零点个数为3.
17．答案：（1）
（2）840
解析：（1）由题意知,,
所以
,
所以,
所以,
所以不戴头盔人数y与年份序号x之间的线性回归方程为.
（2）当时,,即预测该路口2024年不戴头盔的人数为840.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,所以数列是公比为的等比数列,
所以,解得,
所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以,
相减得,,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：在直三棱柱中,平面,又平面,
所以,又,所以,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以.
因为,,所以,又,
所以,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以平面平面.
（2）以A为坐标原点,,,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.所以,,
,.设平面的法向量为,
又,,所以令,
解得,,所以平面的一个法向量.
又,设直线与平面所成角的大小为,
所以,
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）
（2）直线l恒过定点
解析：（1）因为点是抛物线上的一点,
所以,解得,所以C的方程为,
所以C的焦点为.显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为,,
由得,所以,,
所以,
所以.
（2）设,,显然直线的斜率存在,且斜率为,
所以直线的方程为,
所以,即,
同理可得,,
所以,所以,即,①
显然直线l的斜率存在,且斜率为,
所以直线l的方程为,②
将①式代入②式,整理得,
所以直线l恒过定点.
21．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）若,则,所以,
所以,又,所以函数的图象在处的切线方程为,
即.
（2）若对任意的恒成立,即对任意的恒成立.
令,,所以,
若,则,所以在上单调递增,所以,不符合题意.
若,方程的判别式,
当,即时,令,解得,令,
解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,不符合题意;
当,即时,则,所以在上单调递减,所以,符合题意.
综上,a的取值范围为.
（3）证明：由（2）知,当时,,令,
所以,所以,
所以,即.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为曲线C的参数方程为（为参数）,
所以,
即C的普通方程为.
直线l的极坐标方程为,所以,
将,代入,得,即,
所以直线l的直角坐标方程为.
（2）点P的直角坐标为,易得点P在直线l上,
直线l的一个参数方程为（t为参数）,
将（t为参数）代入,得,
设点A,B在直线l上对应的参数分别为,,
所以,,,
所以与的夹角为,所以.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,
解得,所以;
当时,,
解得,所以;
当时,,
解得,所以.
综上,不等式的解集为.
（2）证明：函数
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,所以.
因为,,
所以
当且仅当时,等号成立,所以.
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份序号x
1
2
3
4
5
不戴头盔人数y
1450
1300
1200
1100
950