海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第6次月考数学试题

这是一份海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第6次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，0，7，7B．9等内容，欢迎下载使用。
时间:120分钟满分:150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的75百分位数为（ ）
A．8.7B．9.0C．8.85D．8.6
2．已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列，则k＝2是成立的（ ）条件
A．充要B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要
4．已知平面α，β，直线，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
6．已知，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点P在圆上，点A的坐标为，O为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆()上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ）
A．的最小正周期为πB．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．当时，的最小值为
10．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则与均为实数B．若与均为实数，则
C．若为实数，则均为纯虚数D．若均为纯虚数，则为实数
11．设函数的定义域为R，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题有两个空，第一个空2分，第2个空3分．
12．已知集合，且，则a＝______．
13．对x，y定义了一种新运算F，规定(其中a，b均为非零常数)．例如:，已知，，若关于m的不等式组恰好有两个整数解，则实数P的取值范围是______．
14．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______．
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．(13分)已知函数
(1)讨论函数的单调性
(2)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围
16．(15分)某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17．(15分)如图，AB是半球O的直径，AB＝4，M，N依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．
(1)证明:;
(2)若点P在底面圆上的射影为ON中点，求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值．
18．(17分)已知双曲线C:的离心率为2，过C上的动点M作曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A和B，的面积为．
(1)求曲线C的方程；
(2)如图，曲线C的左顶点为D，点N位于原点与右顶点之间，过点N的直线与曲线C交于G，R两点，直线l过N且垂直于x轴，直线DG，DR分别与l交于P，Q两点，若O，D，P，Q四点共圆，求点N的坐标．
19．(17分)某中学高三学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“⊕”：(e为自然对数的底数，e≈2.718)，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如:，等等．
(1)对任意实数a，b，c，请判断是否成立?若成立请证明;若不成立，请举反例说明．
(2)若，，，．定义闭区间的长度为，若对任意长度为1的区间D，存在，，求正数t的最小值．
海南中学2024届高三年级第6次月考
数学参考答案
一．选择题
二．填空题
12．－3 13． 14．
四．解答题
15．【详解】(1)的定义域为，，
当时，，此时在单调递减;
当时，令，解得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
综上所述，当，在单调递减;
当时，在单调递减，在单调递增．
(2)∵函数在处取得极值，
∴，解得，经检验满足题意;
由已知，即，则，
令，
∴，令，解得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
∴，∴，
∴b的取值范围为．
16．【详解】(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，;
(2)有3个家庭回答正确的概率为，有2个家庭回答正确的概率为：，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17．(15分)【详解】(1)连接AM，OM，MN，PN，
因为M，N依次是底面上的两个三等分点，
所以四边形OMNB是菱形，设，则Q为ON中点，且，
又因为，，故是等边三角形，
连接PQ，则，
又因为MB，面PMB，，所以面PMB，
因为面PMB，所以，
因为M，N依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，
又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，所以，
因为AM，面PAM，，所以面PAM，
又因为面PAM，所以
(2)因为点P在底面圆上的射影为ON中点，
所以面AMB，
因为QM，面AMB，所以，，
又因为，所以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，，，
设平面PAB的法向量，则，令x＝1，则，
设直线PM与平面PAB所成角为，
则
所以直线PM与平面PAB所成角的正弦值为
18.(17分)【详解】(1)由，又得:，所以渐近线方程为，
则双曲线方程为，即，
设，则M到渐近线的距离分别为，，
又两渐近线的夹角为60°，且M，A，O，B四点共圆，则或120°，
的面积
，
∴曲线C的方程为：．
(2)如图O，D，P，Q四点共圆，

，
设，
易得，令x＝t得:，
当的斜率为0时，不符合题意；
当的斜率不为0时，设，
联立双曲线得，
则，且，即，且，
所以，，
由，即，
∴，
∴，符合，
综上，．
19．【详解】(1)由定义得:，∴．
∵．
∴．
(2)
，
∴．
∴开口向上，对称轴为：．
∵，根据二次函数的对称性不妨设，
当时，在内单调递增，
则，即
，可得．
当，即时，在内单调递减，内单调递增．
，
由，则，即，故．
∴，，
∴正数t的最小值为4．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
C
A
B
B
D
B
AD
ABD
AB